ÖRNEKLER

To many, mathematics is a collection of theorems. For me, mathematics is a collection of examples; a theorem is a statement about a collection of examples and the purpose of proving theorems is to classify and explain the examples...
John B. Conway
The only way to learn mathematics is to do mathematics. A good stock of examples, as large as possible, is indispensable for a thorough understanding of any concept, and when I want to learn something new, I make it my first job to build one.
Paul Halmos

Matematiksel kavramları ve sonuçları anlamanın en iyi yollarından birisi örnekler üzerinde çalışmaktır, özellikle tamamen soyut kavramlar bu yolla zihinde daha kolay canlandırılabilir. Bazen çarpıcı bir örnek ile bir çok şey değişebilir, tarih boyunca çok kez doğru bilinen sonuçlar aksine örneklerle çürütülmüştür. Bu sayfada size bazı kavramlar üzerine dikkat çeken bazı örnekleri göstereceğim, bunların çoğu aşikar olmayan durumlara işaret ettiğinden literatürde aksine örnekler (counterexample) olarak adlandırılır.

Sonlu Bir Aralıkta Sonsuz Sayıda Yerel Ekstremuma Sahip Olan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Çok güçlü salınım üreten fonksiyonlarda böyle durumlar sıklıkla oluşur, bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Ekstremum · Fonksiyon

Sürekli Fonksiyonların Sürekli Olmayan Limite Sahip Bir Dizisi [Analiz]

Özet: Sürekli fonksiyonların bir dizisi düzgün yakınsak ise sürekli bir limite sahiptir. Bu örnekte noktasal yakınsamada bu özelliğin sağlanamayabileceğini göreceğiz.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Noktasal Yakınsaklık · Süreklilik · Süreksizlik · Yakınsaklık

Sürekli Olan Ve Grafiğinde Köşe Olmayan Fakat Türevlenebilir Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Sürekli bir fonksiyonun grafiğinde köşe yoksa bile dikey teğeti oluşuyor olabilir ve bu durumda türevlenemezdir, bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Türev

Süreksizlik Noktlarının Kümesi Yoğun Olan İntegrallenebilir Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Sürekli fonksiyonlar integrallenebilir fakat bir fonksiyonun integrallenebilir olması için sürekli olması gerekli değildir, hatta çok süreksiz bir fonksiyon bile integrallenebilir. Bu yazıda bu duruma bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Integral

Tanım Kümesinin Tamamında Türevi Pozitif Olan Fakat Artan Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir aralık boyunca türevinin işareti pozitif olan fonksiyon bu aralıkta artandır. Bu ifadedeki aralık ifadesi değiştirilemez, bu yazıda buna basit bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Monoton Fonksiyon · Türev

Taylor Serisi Başka Bir Fonksiyona Yakınsayan Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Her mertebeden türevlenebilir olan ve türevleri çalışılan aralık boyunca sınırlı olan bir fonksiyonun Taylor serisi o fonksiyona yakınsaktır fakat sınırlılık koşulu kaldırılırsa farklı durumlar oluşabilir, bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Taylor Polinomu · Taylor Serisi

Tek Bir Noktada Türevlenebilir Olan Fonksiyonlar [Analiz]

Özet: Bu yazıda Dirichlet tipi fonksiyonlar olarak bilinen bazı özel fonksiyonları inceleyeceğiz. Süreklilik, türev ve integral anlamında bunların oldukça ilginç özellikleri vardır.

Anahtar Kelimeler: Dirichlet Fonksiyonu · Türev

Terim Terim Hesaplanabilen Noktasal Yakınsak Bir Seri [Analiz]

Özet: Serilerde toplamla limitin sırasının değiştirilebilmesi için düzgün yakınsaklık yeterlidir ama gerekli değildir, bu yazımda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Noktasal Yakınsaklık · Yakınsaklık

Tüm Reel Sayılarda Sürekli ve Sınırsız Olup İntegrali Yakınsak Olan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyon tüm pozitif eksende sınırsız olsa bile bu eksende genelleştirilmiş integrali yakınsak olabilir. Bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Integral

Tüm Reel Sayılarda Sürekli ve Sınırlı Olan Fakat Hiç Ekstremum Noktası Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Kapalı ve sınırlı (kompakt) aralıkta sürekli olan fonksiyon bu aralıkta mutlak ekstremum değerlerini alır, buradaki sınırlılık kaldırılamaz.

Anahtar Kelimeler: Ekstremum · Süreklilik

Türevi Pozitif Olup Monoton Olmayan Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyonun türevinin işareti onun monotonluk davranışını lokal olarak belirleyemez, ancak bir aralık boyunca türevi pozitif olan fonksiyon artan olur. Tek bir noktadaki türevin işareti o noktanın hiç bir komşuluğunda monotonluk hakkında bilgi vermez.

Anahtar Kelimeler: Monoton Fonksiyon · Türev

Türevi Sürekli Olmayan Bir Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyon türevlenebilirse süreklidir, ama türevinin bu özelliğe sahip olması gerekmez. Bu yazıda bu duruma basit bir örnek veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Süreklilik · Türev

Türevlenebilen Fonksiyonlardan Oluşan Fakat Türevlenemeyen Bir Fonksiyona Düzgün Yakınsayan Bir Fonksiyon Dizisi [Analiz]

Özet: Genelde türevler limit ile uyumlu değildir; örneğin türevlenebilir fonksiyonların türevlenebilir olmayan bir fonksiyona düzgün yakınsayan bir dizisi var olabilir. Bu örnekte böyle bir dizi göstereceğim.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Türev · Yakınsaklık

Türevlenebilir Olduğu Bir Noktanın Hiç Bir Komşuluğunda Türevi Sınırlı Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması o noktanın hiç bir civarında türevin sınırlı olmasını garanti etmez, türev sadece o noktada sınırlıdır. Bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Türevlerinin Limiti Limitlerinin Türevinden Farklı Olan Düzgün Yakınsak Bir Dizi [Analiz]

Özet: Bir fonksiyon dizisi düzgün yakınsak olsa bile, oluşturan fonksiyonlar türevlenebilir olsa hatta türevlerinin dizisi yakınsak olsa bile (olmayabilir), dizinini limitinin türevi ile türevlerin limiti farklı olabilir.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Türev · Yakınsaklık

Yakınsak Olan Fakat Terim Terim Hesaplanamayan Seriler [Analiz]

Özet: Bu yazıda genel durumda serilerde limit ve toplam işleminin yer değiştiremediğini gösteren bir örnek vereceğim. Yakınsama düzgünse bunların sırası önemsiz ama noktasal yakınsamada öyle değildir.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Noktasal Yakınsaklık · Yakınsaklık

Yakınsak Olduğu Halde Terimlerinin Sırası Değiştirildiğinde Iraksak Olan Seri [Analiz]

Özet: Yakınsak bir serinin terimlerinin yerlerini değiştirdiğinizde elde ettiğiniz yeni seri yakınsak olmak zorunda değil. Bunun sağlanması için serinin mutlak yakınsak olması gerekir. Bu yazıda bu duruma bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Alterne Seri · Harmonik Seri · Mutlak Yakınsaklık · Şartlı Yakınsaklık · Yakınsaklık

Yatay Asimptotunu Kesen Fonksiyon [Analiz]

Özet: Bir fonksiyon asimptotunu kesebilir, sonsuzda teğet olması için asimptotuna hiç değmemesi gerkemez. Bu yazıda bu duruma basit bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Asimptot

Yerel Minimum Noktasında İki Kez Türevlenebilen Fakat Bu Noktada İkinci Türevi Pozitif Olmayan Fonksiyon [Analiz]

Özet: İkinci türev testi olarak bilinen sonucun tersi doğru değildir, bu sayfada buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Ekstremum · Ikinci Türev Testi

Aritmetiğin Temel Teoreminin Sağlanmadığı Bir Tamlık Bölgesi [Cebir]

Özet: Aritmetiğin temel teoremi aslında göründüğü kadar aşikar bir sonuç değildir, bazı tamlık bölgelerinde bazı sayıların birden fazla farklı açılımı vardır. Bu yazıda bu duruma bazı örnekler vereceğiz.

Anahtar Kelimeler: Aritmetiğin Temel Teoremi · Tamlık Bölgesi · Tek Çarpanlama Bölgesi