ÖRNEKLER

To many, mathematics is a collection of theorems. For me, mathematics is a collection of examples; a theorem is a statement about a collection of examples and the purpose of proving theorems is to classify and explain the examples...
John B. Conway
The only way to learn mathematics is to do mathematics. A good stock of examples, as large as possible, is indispensable for a thorough understanding of any concept, and when I want to learn something new, I make it my first job to build one.
Paul Halmos

Matematiksel kavramları ve sonuçları anlamanın en iyi yollarından birisi örnekler üzerinde çalışmaktır, özellikle tamamen soyut kavramlar bu yolla zihinde daha kolay canlandırılabilir. Bazen çarpıcı bir örnek ile bir çok şey değişebilir, tarih boyunca çok kez doğru bilinen sonuçlar aksine örneklerle çürütülmüştür. Bu sayfada size bazı kavramlar üzerine dikkat çeken bazı örnekleri göstereceğim, bunların çoğu aşikar olmayan durumlara işaret ettiğinden literatürde aksine örnekler (counterexample) olarak adlandırılır.

Özet: Antitürevi olan her fonksiyon integrallenebilir olmak zorunda değildir, örneğin sınırlı olmayan bir fonksiyonun bir antitürevi var olabilir. Bu yazımda bu duruma bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Antitürev · Integral
Özet: Kapalı bir aralıkta sürekli olan herhangi iki fonksiyonun toplamı bu aralıkta ara değer özelliğine sahiptir, fakat süreklilik kaldırılırsa bu sağlanmayabilir. Hatta iki fonksiyon ara değer özelliğine sahip olsa bile süreklilik olmadan toplamları bu özelliğe sahip olmayabilir.

Anahtar Kelimeler: Ara Değer Özelliği · Ara Değer Teoremi · Darboux Teoremi
Özet: Böyle bir fonksiyonun ilgili noktada sonsuz limite sahip olması gerekmez, bu noktada limit var olmayabilir. Bu yazıda buna bir örnek veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Limit
Özet: Düzgün sınırlı dizilerin limitleri sınırlıdır, noktasal yakınsama durumunda bile. Düzgün sınırlılık yoksa bu garanti ortadan kalkar ama dizi yinede sınırlı limite sahip olabilir, bu yazıda buna bir örnek veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Sınırlılık · Düzgün Yakınsaklık · Sınırlılık
Özet: Aynı bölgede düzgün sürekli olan fonksiyonların çarpımının bu bölgede düzgün sürekli olması gerekmez. Bunun sağlanması için fonksiyonların aynı zamanda sınırlı da olmaları gerekir, bu duruma bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Süreklilik · Lipschitz Koşulu
Özet: Bir fonksiyon serisi düzgün yakınsak ise terim terim integrallenebilir, düzgün yakınsak olmayan serilerde bunun garantisi yoktur. Bu yazıda bu duruma bir aksine örnek olarak Fourier serilerini öneriyorum.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Fourier Serisi · Integral
Özet: Ekstremum noktaların tespiti için kullanılan ikinci türev testi olarak bilinen sonucun tersi doğru değildir. Bu yazıda bu duruma bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Ekstremum · Ikinci Türev Testi · Türev
Özet: Limit operasyonu kesin eşitsizlikleri korumaz, onları kesin olmayan eşitsizliklere çevirir. Bu yazıda buna basit bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Eşitsizlik · Limit
Özet: Fonksiyon dizileri genellikle türevi korumaz; fonksiyonlar çok düzgün olsa bile, hatta yakınsama düzgün olsa bile türevlerinin dizisi ıraksak olabilir. Bu kısa notta buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Fonksiyon · Türev · Yakınsaklık
Özet: Her noktada teğetinin olması bir fonksiyonun türevlenebilir olması için yeterli değildir, bu yazıda buna bir örnek veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Türev
Özet: Bir fonksiyonun türevi varsa o fonksiyon süreklidir fakat bunun tersi doğru değildir. Bu yazıda bu duruma uç bir örnek vereceğiz, her yerde sürekli olan fakat hiç bir yerde türevi olmayan fonksiyonlar vardır.

Anahtar Kelimeler: Süreklilik · Türev · Weierstrass Fonksiyonu
Özet: Her trigonometrik seri bir Fourier serisi değildir, yakınsak olsa bile. Bu yazıda bu duruma bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Fourier Serisi · Yakınsaklık
Özet: Bazı fonksiyonlar sürekli olmasa bile başka bir fonksiyonun türevi olabilir ama ara değer özelliğine sahip olmayan fonksiyonlar başka bir fonksiyonun türevi olamaz. Bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Ara Değer Özelliği · Darboux Teoremi · Türev
Özet: Dirichlet tipi fonksiyonlardan vereceğimiz bu örnek ile hiç bir aralıkta monoton olmayan bir fonksiyon gözlemleyeceğiz.

Anahtar Kelimeler: Monoton Fonksiyon
Özet: Dirichlet tipi fonksiyonlar olarak bilinen bazı tip fonksiyonlar sıklıkla aksine örneklere konu olur. Bu yazıda bu tip bir fonksiyonun hiç bir yerde sürekli olmadığını göreceksiniz.

Anahtar Kelimeler: Dirichlet Fonksiyonu · Süreklilik
Özet: Sürekli fonksiyonların oluşturduğu bir dizinin limiti sürekli olmak zorunda değildir, bildiğiniz gibi ancak yakınsama düzgün ise bu durum garanti edilebilir. Düzgün yakınsalık bu örnekte olduğu gibi bazı iyi özellikleri taşısa da kötü özellikleri taşımaz. Bu yazıda buna bir örnek vereceğiz.

Anahtar Kelimeler: Dirichlet Fonksiyonu · Düzgün Yakınsaklık · Süreklilik
Özet: Yerel ekstremumlar her zaman bir maksimum bir minimum biçiminde sırayla oluşmaz. Bu yazıda buna bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Ekstremum
Özet: Bir istisna dışında her kümenin infimumu supremumundan büyüktür (varsa), bu istisnai kümenin supremum ve infimumu da tanım olarak böyle varsayılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Boş Küme · Infimum · Supremum
Özet: Sürekli fonksiyonlar için kalkülüsün temel teoremi sağlanır fakat süreklilik kaldırıldığında işler değişir. Bu yazımda bu duruma ilginç bir örnek vereceğim.

Anahtar Kelimeler: Antitürev · Integral · Kalkülüsün Temel Teoremi · Türev
Özet: İntegrallenebilir fonksiyonların düzgün yakınsak bir dizisinin limiti integrallenebilirdir, burada düzgün yakınsaklık kaldırıldığı zaman bu garanti ortadan kalkar. Bu yazıda bu duruma bir örnek veriyorum.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Integral · Yakınsaklık