Sürekli Fonksiyonların Sürekli Olmayan Limite Sahip Bir Dizisi

Bu duruma verilebilecek örneklerin en basitlerinden biri $n\in\mathbb{N}$ ve $x\in[0,1]$ için tanımlanan $f_n(x):=x^n$ fonksiyonlarınının dizisidir. Bunların her biri sürekli olmasına rağmen $$f(x):= \begin{cases} 0,&0\leq x\lt 1\\ 1,&x=1 \end{cases} $$ limit fonksiyonu $x=1$ noktasında süreksizdir.

Başka bir örnek olarak $n\in\mathbb{N}$ ve $x\in\mathbb{R}$ için tanımlanan $$g_n(x):=\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}$$ fonksiyonları dizisini ele alın, bu dizinin limiti $x=\pm1$ noktalarında sürekli olmayan $$g(x):= \begin{cases} 0,&|x|\lt1\\ \frac{1}{2},&|x|=1\\ 1,&|x|\gt 1 \end{cases} $$ fonksiyonudur.

Buna verilebilecek başka bir örnek de şudur: $$h_n(x):=\left\{ \begin{array}{ll}\min\left(1, nx\right),&\quad x\geq 0\textrm{ ise }\\\max\left(-1, nx\right),&\quad x\lt0\textrm{ ise.}\end{array} \right.$$ olarak tanımlanan fonksiyonların oluşturduğu $\left(h_n\right)$ dizisinin limiti işaret fonksiyonudur. Bu fonksiyonun $x=0$ noktasında sürekli olmadığını biliyoruz.

Burada verilen örneklerin tamamında yakınsamanın noktasal olduğuna dikkat edilmelidir, bu durum düzgün yakınsamada oluşmaz (Şu sayfada bu konuyla alakalı ilginç bir örnek vermiştim). Elbette bunun tersi doğru değildir; yakınsama düzgün olmasa bile limiti sürekli olan diziler vardır. Şu sayfada ve şu sayfada verdiğim örnekleri inceleyin; bu örnekler son derece ilginçtir çünkü süreksiz fonksiyonlar sürekli bir limite sahip oluyor, üstelik noktasal yakınsamayla.