Noktasal Yakınsak Olan Düzgün Sınırlı Bir Dizi

$[0,1]$ aralığında tanımlı $$f_n(x):= \begin{cases} nx\sin\frac{1}{nx},& x\neq0\\ 1,&x=0 \end{cases} $$ fonksiyonlarını ele alalım. Her $n\in\mathbb{N}$ ve her $x\in[0,1]$ için $\left|f_n(x)\right|\leq1$ olduğundan bu dizi düzgün sınırlıdır. Ayrıca $x\neq0$ için $$\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sin\frac{1}{nx}}{\frac{1}{nx}}= \lim\limits_{t\to0^+}\frac{\sin t}{t}=1$$ olduğundan her $x\in[0,1]$ için $f_n$ dizisi yakınsaktır ve limiti 1’dir.

Diğer yandan her $n\in\mathbb{N}$ için $x_n=1/n\in[0,1]$ dizisini seçerseniz $n\to\infty$ için $$\left|f_n(x_n)-f(x_n) \right|=\left| n\cdot\frac{1}{n}\sin 1-1 \right|=1-\sin 1\not\rightarrow0$$ olduğunu görürsünüz, dolayısıyla bu yakınsama düzgün değildir.