Yakınsak Olan Fakat Terim Terim Hesaplanamayan Seriler
Kayıt Tarihi:
Bu yazıda genel durumda serilerde limit ve toplam işleminin yer değiştiremediğini gösteren bir örnek vereceğim. Yakınsama düzgünse bunların sırası önemsiz ama noktasal yakınsamada öyle değildir.
Anahtar Kelimeler: düzgün yakınsaklık · noktasal yakınsaklık · yakınsaklık$(-1,1)$ aralığında $$\sum_{n=1}^\infty\left(x^n-x^{n+1}\right)$$ serisini ele alalım. $|x|\lt1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty\lim\limits_{x\to1^-}\left(x^n-x^{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty0=0$$ olur. Diğer yandan serinin kısmi toplamlar dizisi $$S_n(x)=\sum_{k=1}^n\left(x^n-x^{n+1}\right)=(x-x^2)+(x^2-x^3)+\cdots+(x^n-x^{n+1})=x-x^{n+1}$$ olduğundan $$\lim\limits_{x\to1^-}\sum_{n=1}^\infty\left(x^n-x^{n+1}\right)=\lim\limits_{x\to1^-}S_n(x)= \lim\limits_{x\to1^-}x=1$$ olur.
Bu durum yakınsama düzgün olduğu zaman oluşmaz, buradaki örnekte yakınsamanın noktasal olduğu doğrulanabilir.
Kaynak:
A. Bourchtein, L. Bourchtein. Counterexamples on Uniform Convergence, Wiley, Inc., New York, 2017.