Türevlerinin Limiti Limitlerinin Türevinden Farklı Olan Düzgün Yakınsak Bir Dizi

Her $n\in\mathbb{N}$ için $\left[-1,1\right]$ aralığında $$f_n(x):=\frac{x}{1+n^2x^2}$$ fonksiyonlarıyla tanımlanan $\left(f_n\right)$ dizisini ele alalım. Her $x\in\mathbb{R}$ için $1+x^2n^2\geq1$ olduğundan $\left|f_n(x)\right|\leq\left|x\right|$ olduğu açıktır. Dolayısıyla $\left|x\right|\leq1/n$ için $\left|f_n(x)\right|\leq1/n$ olacaktır. Diğer taraftan eğer $\left|x\right|\geq1/n$ ise $n^2\left|x\right|\geq n$ olacağından $\left|f_n(x)\right|\leq1/\left(n^2\left|x\right|\right)\leq1/n$ olacaktır. Sonuç olarak her $x\in\left[-1,1\right]$ için $$\left|f_n(x)\right|\leq\frac{1}{n}$$ elde edilir, dolayısıyla $f_n\rightrightarrows0$ olduğu görülür ($\rightrightarrows$ sembolü ile düzgün yakınsamayı gösteriyorum). Diğer yandan her $n\in\mathbb{N}$ için $$f'_n(x)=\frac{1-n^2x^2}{\left(1+n^2x^2\right)^2}$$ olup $f'_n(0)=1$ ve $x\neq0$ için $$\left|f'_n(x)\right|\leq\frac{1+n^2x^2}{\left(1+n^2x^2\right)^2}=\frac{1}{1+n^2x^2}\rightarrow0$$ olur. Yani türevlerin dizisi limit fonksiyonunun dizisinden farklı bir fonksiyona yakınsar; $$\left(f'_n(x)\right)\rightarrow g(x):=\left\{ \begin{array}{ll}1,&\quad x=0\textrm{ ise }\\0,&\quad x\neq0\textrm{ ise.}\end{array} \right.$$

Türev-limit uyumsuzluğu hakkında şu sayfada ve şu sayfada verilen örneklere de göz atabilirsiniz.