Türevlenebilen Fonksiyonlardan Oluşan Fakat Türevlenemeyen Bir Fonksiyona Düzgün Yakınsayan Bir Fonksiyon Dizisi

Her $n\in\mathbb{N}$ için $\left[-1, 1\right]$ aralığında $$f_n(x):=\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}$$ fonksiyonlarıyla tanımlanan $\left(f_n\right)$ dizisini ele alalım. Her bir $x\in\left[-1, 1\right]$ için $$x^2\leq f_n^2(x)=x^2+\frac{1}{n^2}\leq \left(\left|x\right|+\frac{1}{n}\right)^2$$ ve buradan da her $x\in\left[-1,1\right]$için $$\left|x\right|\leq f_n(x)\leq\left|x\right|+\frac{1}{n}$$ elde edilir. Dolayısıyla $$\left|f_n(x)-\left|x\right|\right|\leq\frac{1}{n}\rightarrow0$$ olup $\left(f_n\right)$ dizisi $f(x):=\left|x\right|$ fonksiyonuna düzgün yakınsaktır. Dizi düzgün yakınsak ve her bir terimi türevlenebilir olmasına rağmen limit fonksiyonunun $x=0$ noktasında türevlenebilir olmadığına dikkat edin.

Genelde türevler limit ile korunmaz, yakınsama düzgün olsa bile; başka örnekler için şu sayfaya ve şu sayfaya da göz atabilirsiniz.