Türevi Sürekli Olmayan Bir Fonksiyon

$$g(x):=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin\frac{1}{x},\quad & x\neq0\text{ ise }\\ 0,\quad & x=0\text{ ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlanan $g$ fonksiyonu için $$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0$$ olduğundan $g'(0)=0$ olduğu görülür. Eğer $x\neq0$ ise $g'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ olduğu da açıktır, böylece $$g'(x):=\left\{ \begin{array}{ll} 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x},\quad & x\neq0\text{ ise }\\ 0,\quad & x=0\text{ ise.} \end{array} \right.$$ yazabiliriz. $g$ fonksiyonu tüm reel sayılarda türevlenebilirdir fakat türevinin sürekli olmadığına dikkat edin.