Türevi Pozitif Olup Monoton Olmayan Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonun tek bir noktada türevinin işareti o noktayı içeren çok küçük bir aralıkta bile fonksiyonun monotonluğu hakkında fikir vermez. Örneğin $$f(x):=\left\{\begin{array}{ll} x+2x^2\sin(1/x), \quad& x\neq0\text{ ise }\\0,\quad &x=0\text{ ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlanan $f$ fonksiyonunu ele alalım. Her $x\neq0$ için $x-2x^2\leq f(x) \leq x+2x^2$ olduğu açıktır, buradan da $$1-2x\leq \frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\leq 1+2x$$ eşitsizliği elde edilir. Sandviç teoremi kullanılırsa $$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1$$ elde edilir, yani $f$ fonksiyonu $x=0$ noktasında türevlenebilirdir ve $f'(0)=1$'dir. Fakat $x=0$ noktasının hiçbir komşuluğunda bu fonksiyonun monoton olmadığı gösterilebilir.