Türevlenebilir Olduğu Bir Noktanın Hiç Bir Komşuluğunda Türevi Sınırlı Olmayan Fonksiyon

Şu örnekte de ele aldığım $$f(x):=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin\frac{1}{x^2},\quad & x\neq0\text{ ise }\\ 0,\quad & x=0\text{ ise.} \end{array} \right.$$ fonksiyonu türevlenebilirdir ve $$f'(x):=\left\{ \begin{array}{ll} 2x\sin\frac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2},\quad & x\neq0\text{ ise }\\ 0,\quad & x=0\text{ ise.} \end{array} \right.$$ biçimindedir. Diğer yandan bu türev $x=0$ noktasının hiç bir komşuluğu boyunca sınırlı değildir.