Kapalı Bir Aralıkta Sınırlı Olup Türevi Sınırsız Olan Bir Fonksiyon
Kayıt Tarihi:
Bir fonksiyon her özelliğini türevine aktarmaz, örneğin sınırlı bir fonksiyonun türevinde bu özellik görülmeyebilir. Bu yazımda bu duruma karekök fonksiyonu dışında başka bir örnek vereceğim.
Anahtar Kelimeler: türev$[-1,1]$ aralığında $$f(x):=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin\frac{1}{x^2},\quad & x\neq0\text{ ise }\\ 0,\quad & x=0\text{ ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlansın. Bu durumda $$f'(x):=\left\{ \begin{array}{ll} 2x\sin\frac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2},\quad & x\neq0\text{ ise }\\ 0,\quad & x=0\text{ ise.} \end{array} \right.$$ olduğu doğrulanabilir ve bu fonksiyon $[-1,1]$ aralığında sınırsızdır.
Kaynak:
B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1992.