Kapalı Bir Aralıkta Sınırlı Olup İntegrallenebilir Olmayan Fonksiyon

$$f(x):=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \quad x \not \in \mathbb{Q}\\ 1, & \quad x \in \mathbb{Q} \end{array} \right.$$ olarak tanımlanan fonksiyonu ele alalım. $[a,b]$ aralığının herhangi bir parçalanması $P=\lbrace x_0, x_1, \ldots,$ $x_n \rbrace$ olsun. Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümeleri reel sayılar kümesinde yoğun kümelerdir, yani herhangi iki reel sayı arasında hem rasyonel hem de irrasyonel sayılar vardır. Dolayısıyla her $j\in \left\{1,2,\ldots,n\right\}$ sayısı için ilgili alt aralıkta $f$ fonksiyonunun maksimum ve minimum değerleri sırasıyla $M_j=1$ ve $m_j=0$ olup tüm $P$ parçalanmaları için üst ve alt toplamları sırasıyla $U(f,P)=b-a$ ve $L(f,P)=0$ olur. O halde üst ve alt integraller $$\overline{\int_{a}^{b}}f(x)dx=b-a \quad \textrm{ve }\quad \underline{\int_{a}^{b}}f(x)dx=0$$ olarak bulunur. Dolayısıyla bu fonksiyon $[a,b]$ aralığında Riemann anlamında integrallenebilir değildir.