Kendileri İntegrallenebilir Olup Bileşkeleri İntegrallenemeyen Fonksiyonlar

Şimdi $[0,1]$ aralığında tanımlanmış olan $$ f(x):= \left\{ \begin{array}{ll} 1,&\quad 0\lt x\leq 1\\ 0,&\quad x=0 \end{array} \right. $$ ve $$g(x):=\left\{\begin{array}{rl} \frac{1}{q},\quad & x=\frac{p}{q}\;\text{en sade halde }(p\lt q\textrm{ ve }p,q\in\mathbb{N}),\\ 0,\quad & x\in[0,1]\;\text{ irrasyonel ise.} \end{array} \right.$$ fonksiyonlarını ele alalım. $f$ fonksiyonunun integrallenebilir olduğu açık, $g$'nin integrallenebilir olduğunu da şu örnekte açıkladım. Bu durumda $$f\left(g(x)\right):=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \quad x \not \in \mathbb{Q}\\ 1, & \quad x \in \mathbb{Q} \end{array} \right.$$ olur, bu fonksiyonun integrallenebilir olmadığını şu örnekte açıklamıştım.

Kaynak:
B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1992.