Süreksizlik Noktlarının Kümesi Yoğun Olan İntegrallenebilir Bir Fonksiyon

$1\leq x \leq 2$ için $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \quad x \not \in \mathbb{Q}\\ \frac{1}{q}, & \quad x=\frac{p}{q} \textrm{ ve }(p,q)=1. \end{array} \right.$$ olarak tanımlanan $f$ fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun irrasyonel sayılar kümesinde süreksiz olduğunu şu örnekte açıklamıştım. $[1,2]$ aralığının herhangi bir parçalanması $P=\left\{1=x_0, x_1, \ldots, x_n=2\right\}$ ise $1\leq j \leq n$ için her bir alt aralıkta fonksiyonun minimum değerleri $m_j=0$ olduğundan bu aralıklarda alt toplamların $L(f,P)=0$ olduğu açıktır. Böylece alt integral $$\underline{\int_1^2}f(x)dx=0$$ elde edilir. Ayrıca $[1,2]$ aralığının her $P$ parçalanması için üst toplamlar $U(f,P)>0$ olduğundan \begin{equation}\label{ex9-1} \overline{\int_a^b}f(x)dx\geq 0 \end{equation} olduğu açıktır. Diğer yandan bir $\epsilon\in(0,2)$ sayısı için $f(x)\geq\frac{\epsilon}{2}$ eşitsizliği sadece sonlu sayıda $x\in[1,2]$ değeri için sağlanır. Bu noktaların sayısına $k$ diyelim. Ayrıca $P_0$ ile de $[1,2]$ aralığının \begin{equation}\label{ex9-2} ||P_0||\leq\frac{\epsilon}{2k} \end{equation} özelliğine sahip bir parçalanmasını gösterelim. Bu durumda $U(f,P_0)$ üst toplamının en fazla $k$ tane terimi için fonksiyonun maksimum değerlerde $M_j\geq\frac{\epsilon}{2}$ eşitsizliği sağlanır ve bu terimler de dahil tüm terimler için $M_j\leq1$ eşitsizliği geçerlidir. \eqref{ex9-2} eşitsizliğinden dolayı bu $k$ tane terimin toplamı en fazla $k\frac{\epsilon}{2k}=\frac{\epsilon}{2}$ olur. Diğer terimler için $M_j<\frac{\epsilon}{2}$ olduğundan bu terimlerin toplamı için de $$\frac{\epsilon}{2}\sum\limits_{j=1}^{n}(x_j-x_{j-1})=\frac{\epsilon}{2}(2-1)=\frac{\epsilon}{2}$$ eşitsizliği sağlanır. Böylece $U(f,P_0)<\epsilon$ olur ki bu da \begin{equation}\label{ex9-3} \overline{\int_1^2}f(x)dx\leq 0 \end{equation} anlamına gelir. Sonuç olarak \eqref{ex9-1} ve \eqref{ex9-3} eşitsizliklerinden $$\overline{\int_1^2}f(x)dx=0$$ elde edilmiş olur.

Sonuç olarak $f$ fonksiyonunun integrallenebilir olduğu ve $$\int_1^2f(x)dx=0$$ olduğu anlaşılmış olur.