Kendileri Sınırlı Olup Limiti Sınırlı Olmayan Bir Fonksiyon Dizisi

Aşağıdaki şekilde tanımlanmış olan $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ fonksiyonları sınırlıdır. $$f_n(x):=\left\{ \begin{array}{ll}\min\left(n,\frac{1}{x} \right),&\quad 0\lt x\leq 1\textrm{ ise }\\0,&\quad x=0\textrm{ ise.}\end{array} \right.$$

$[0,1]$ aralığında $0\leq f_n(x)\leq n$ olduğundan her bir $f_n$ fonksiyonu bu aralıkta sınırlıdır. Ayrıca $(0,1]$ aralığında verilen her $x$ için öyle bir $n_0\in\mathbb{N}$ bulabiliriz ki her $n\ge n_0$ için $n\ge\frac{1}{x}$ sağlanır, dolayısıyla her $n\ge n_0$ için $f_n(x)=\frac{1}{x}$ olur. Böylece $x\in(0,1]$ için $\lim_\limits{n\to\infty}f_n(x)=\frac{1}{x}$ olur. Sonuç olarak yukarıda tanımladığımız $\{f_n\}$ dizisinin $[0,1]$ aralığındaki limiti $$f(x):=\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{x},&\quad 0\lt x\leq 1\textrm{ ise }\\0,&\quad x=0\textrm{ ise.}\end{array} \right.$$ olup verilen aralıkta sınırsızdır. Bu örnekte yakınsamanın noktasal olduğuna dikkat edilmelidir, düzgün yakınsamada bu durum oluşmaz.

Bu örnek düzgün sınırlılık açısından da değerlendirilebilir, buradaki $\{f_n\}$ dizisi düzgün sınırlı değildir. Düzgün sınırlı bir dizinin limiti sınırlıdır, bu dizi buradaki düzgün sınırlılık şartının da kaldırılamayacağına bir örnektir. Bu konuda şu sayfada bir örnek vermiştim.

Kaynak:
B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1992.
A. Bourchtein, L. Bourchtein. Counterexamples on Uniform Convergence, Wiley, Inc., New York, 2017.