Düzgün Sınırlı Olmayan Fakat Limiti Sınırlı Olan Bir Dizi
Kayıt Tarihi:
Son Güncelleme:
Düzgün sınırlı dizilerin limitleri sınırlıdır, noktasal yakınsama durumunda bile. Düzgün sınırlılık yoksa bu garanti ortadan kalkar ama dizi yinede sınırlı limite sahip olabilir, bu yazıda buna bir örnek veriyorum.
Anahtar Kelimeler: düzgün sınırlılık · düzgün yakınsaklık · sınırlılık$[0,\infty)$ aralığında tanımlı $$f_n(x):= \begin{cases} n^2x+n-n^3, & x\in\left[n-\frac{1}{n}, n\right]\\ -n^2x+n+n^3, & x\in\left[n, n+\frac{1}{n}\right]\\ 0, & \textrm{diğer durumlarda} \end{cases} $$ fonksiyonlarının $\{f_n\}$ dizisini ele alalım.
Her bir $n$ ve her $x\in[0,\infty)$ için $0\leq f_n(x)\leq n$ olup her bir $f_n$ fonksiyonu sınırlıdır. Diğer yandan her $M>0$ sayısına karşılık öyle bir $n>M$ doğal sayısı bulunabilir ki $x_n=n$ seçilirse $f_n(x_n)=n>M$ olur, yani bu dizi düzgün sınırlı değildir.
Şimdi bu dizinin limitini bulalım. Her bir sabit $x\in[0,\infty)$ için $n_0\ge x+1$ olacak şekilde bir $n_0\in\mathbb{N}$ bulabiliriz ki bu durumda her $n\ge n_0$ için $n-\frac{1}{n}\ge n-1\ge x$ olur ve bunun anlamı da $\lim_\limits{n\to\infty}f_n(x)=0$ olması demektir. Yani bu dizinin limiti sınırlıdır.
Kaynak:
A. Bourchtein, L. Bourchtein. Counterexamples on Uniform Convergence, Wiley, Inc., New York, 2017.