Düzgün Sürekli Olup Çarpımları Düzgün Sürekli Olmayan Fonksiyonlar
Kayıt Tarihi:
Son Güncelleme:
Aynı bölgede düzgün sürekli olan fonksiyonların çarpımının bu bölgede düzgün sürekli olması gerekmez. Bunun sağlanması için fonksiyonların aynı zamanda sınırlı da olmaları gerekir, bu duruma bir örnek vereceğim.
Anahtar Kelimeler: düzgün süreklilik · Lipschitz koşulu$f(x):=x$ ve $g(x):=\sin x$ fonksiyonlarının türevleri sınırlı olduğundan Lipschitz koşulunu sağlaralar, dolayısıyla bu fonksiyonlar tüm $\mathbb{R}$ kümesinde düzgün süreklidir. Diğer yandan bunların çarpımı $$(fg)(x):=x\sin x$$ fonksiyonu $\mathbb{R}$ kümesinde düzgün sürekli değildir.
İki fonksiyon aynı tanım kümesinde sınırlı ve düzgün sürekli ise bunların çarpımı da aynı kümede düzgün sürekli olur, buradaki örnekte $f$ fonksiyonunun sınırlı olmadığını görüyorsunuz.
Kaynak:
B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1992.