Her Mertebeden Türevlenebilen, Sıfıra Düzgün Yakınsayan Bir Dizi Oluşturan Fakat Türevlerinin Dizisi Iraksak Olan Fonksiyonlar

Her $n\in\mathbb{N}$ için $\left[0, 2\pi\right]$ aralığında $$f_n(x):=\frac{\sin(nx+1)}{\sqrt{n+1}}$$ fonksiyonlarıyla tanımlanan $\left(f_n\right)$ dizisini ele alalım. Bu durumda $$\frac{-1}{\sqrt{n+1}}\leq\frac{\sin(nx+1)}{\sqrt{n+1}}\leq\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ eşitsizliği sağlandığından sandviç teoremi gereği $\lim\left(f_n(x)\right)=0$ olduğu görülür. Gerçekten, keyfi bir $\epsilon>0$ sayısı verildiğinde, seçeceğimiz bir $x_0\in\mathbb{R}$ için $$\left|\frac{\sin(nx+1)}{\sqrt{n+1}}-0\right|\leq \frac{1}{\sqrt{n}} $$ olduğundan $$K(\epsilon,x_0)>\frac{1}{\epsilon^2}$$ olacak şekilde bir $K(\epsilon,x_0)$ doğal sayısı seçersek $$\left|f_n(x_0)-0\right|<\epsilon$$ eşitsizliği sağlanır. Sonuç olarak bu dizinin $f(x):=0$ fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğu anlaşılmış olur. Fakat $f'_n(x)=(n/\sqrt{n+1})\cos(nx+1)$ olduğundan $\left(f'_n\right)$ dizisi yakınsak değildir.

Genel durumda türev ile limit uyumlu değildir; başka örnekler için şu sayfaya ve şu sayfaya da göz atabilirsiniz.