Yakınsak Olduğu Halde Terimlerinin Sırası Değiştirildiğinde Iraksak Olan Seri

Herhangi bir şartlı yakınsak seri bu duruma örnek olarak gösterilebilir, gerçekten Riemann'a ait olan bir sonuca göre şartlı yakınsak olan her seri terimlerinin sırasıyla oynanarak istenilen herhangi bir sayıya yakınsak yapılabilir, istenilirse ıraksak ta yapılabilir. Şimdi bunun nasıl yapılabileceğini açıklayacağım.

Şimdi şartlı yakınsak olan $$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}$$ alterne harmonik serisini ele alalım, şimdi bu serinin terimlerinin yerini değiştirerek yeni bir seri üreteceğiz. İlk olarak $1$ terimini yazıyoruz ve sonra da toplam değeri seçtiğimiz sabit bir $a$ sayısından küçük kalıncaya kadar serinin negatif terimlerini arka arkaya ekliyoruz, toplamı $a$'dan küçük yapan ilk yerde duralım: $$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\cdots-\frac{1}{2j}.$$ Şimdi $a$'dan büyük olan bir $b$ sayısı seçip sabitleyelim, yukarıda durduğumuz yerden bu sefer pozitif terimleri ekleyeceğiz. Pozitif terimleri toplamın değeri $b$'den büyük oluncaya kadar ekleyelim, $b$'yi aştığımız ilk terimde durmalıyız: $$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\cdots-\frac{1}{2j}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2k+1}.$$ Bu işlemi böylece sonsuza dek devam ettirdiğimizi düşünün; toplam $a$'nın altına inene kadar negatif terimleri, sonra da $b$'nin üstüne çıkana kadar pozitif terimleri ekleyelim.

$\left|(-1)^{n+1}/n\right|=1/n\to0$ olduğundan $[a,b]$ aralığındaki istediğimiz sayıya bu şekilde elde ettiğimiz serinin kısmi toplamlar dizisi $\{s_n\}$ ile istediğimiz yakınlıkta yaklaşabiliriz. Yani $\{s_n\}$ dizisinin limit noktalarının kümesi $[a,b]$ aralığıdır. Yukarıdaki yöntemi $a=b$ seçerek uygularsak bu sayıya yakınsayan bir toplam üretiriz. Eğer bu yöntemde $a$ ve $b$ sayılarını sabit değil de ilk adımda $1$, sonraki adımda $-2$, sonraki adımda $3$, sonra $-4$ gibi seçersek elde edeceğimiz serinin limit noktalarının kümesi $\mathbb{R}$ olur.