Tek Bir Noktada Türevlenebilir Olan Fonksiyonlar

Dirichlet tipi fonksiyonların türevlenebilirliğini inceleyelim. $$f_1(x):=\left\{\begin{array}{rl} 1,\quad & x\;\text{ rasyonel ise }\\ 0,\quad & x\;\text{ irrasyonel ise.} \end{array} \right.$$ fonksiyonu hiçbir yerde sürekli olmadığından hiçbir yerde türevlenebilir olamaz. $$f_2(x):=\left\{\begin{array}{rl} x,\quad & x\;\text{ rasyonel ise }\\ 0,\quad & x\;\text{ irrasyonel ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlanan fonksiyon ise sadece $x=0$ noktasında süreklidir , burada türevlenebilir olup olmadığını araştıralım. $$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f_2(x)-f_2(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}f_1(x)$$ olduğundan bu limit mevcut olmadığından $f_2$ fonksiyonu türevlenemezdir. Diğer yandan eğer $$f_3(x):=\left\{\begin{array}{rl} x^2,\quad & x\;\text{ rasyonel ise }\\ 0,\quad & x\;\text{ irrasyonel ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlarsak $$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f_3(x)-f_3(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}f_2(x)$$ olduğunu görürüz, buradan da $f_3'(0)=0$ olduğu sonucuna varırız. Aynı şekilde $$f_4(x):=\left\{\begin{array}{rl} x^p,\quad & x\;\text{ rasyonel ise }\;(p>1)\\ 0,\quad & x\;\text{ irrasyonel ise.} \end{array} \right.$$ ve $$f_5(x):=\left\{\begin{array}{rl} x^2+x,\quad & x\;\text{ rasyonel ise}\\ x,\quad & x\;\text{ irrasyonel ise.} \end{array} \right.$$ fonksiyonları için $f'_4(0)=0$ ve $f'_5(0)=1$ olduğu kolayca görülebilir.