Terim Terim Hesaplanabilen Noktasal Yakınsak Bir Seri

$[0,1]$ aralığında $$\sum_{n=1}^\infty\left(nxe^{-nx}-(n-1)e^{-(n-1)x}\right)$$ serisini ele alalım, kısmi toplamlar dizisi teleskopik olup $$S_n(x)=\sum_{k=1}^n \left(nxe^{-nx}-(n-1)e^{-(n-1)x}\right)=nxe^{-nx}$$ biçimindedir. Dolayısıyla l’Hospital kuralı kullanılırak $$\sum_{n=1}^\infty\left(nxe^{-nx}-(n-1)e^{-(n-1)x}\right) =\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)= \lim\limits_{n\to\infty}nxe^{-nx}=0$$ olduğu görülür. Diğer yandan $$\lim\limits_{x\to0^+} \left(nxe^{-nx}-(n-1)e^{-(n-1)x}\right) =0$$ olduğundan $$\lim\limits_{x\to0^+}\sum_{n=1}^\infty \left(nxe^{-nx}-(n-1)e^{-(n-1)x}\right) = \sum_{n=1}^\infty\lim\limits_{x\to0^+}\left(nxe^{-nx}-(n-1)e^{-(n-1)x}\right) $$ eşitliği sağlanır, yani bu seri terim terim toplanabilir.

Yakınsama düzgünse seriler her zaman terim terim toplanabilir (başka bir deyişle toplamla limit yer değiştirebilir) ama bunun tersi doğru değildir, mesela buradaki örnekte yakınsamanın noktasal olduğu kanıtlanabilir ve görüldüğü gibi yine de terim terim toplanabiliyor. Şu sayfada da yakınsama noktasalken terim terim toplanamayan bir seri örneği verdim.