Taylor Serisi Başka Bir Fonksiyona Yakınsayan Bir Fonksiyon

Her mertebeden türevlenebilir olan ve türevleri çalışılan aralık boyunca sınırlı olan bir fonksiyonun Taylor serisi o fonksiyona yakınsaktır. Burada türevin sınırlılığı kaldırıldığında yakınsama garantisi kalkar, böyle fonksiyonların Taylor serileri yakınsak da olabilir ıraksak da, hatta yakınsak ise kendisine de yakınsayabilir başka bir fonksiyona da.

Örneğin $$f(x):=\left\{ \begin{array}{ll} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right),\quad&x\neq0\text{ ise }\\0,\quad&x=0\text{ ise.} \end{array} \right.$$ olarak tanımlanan fonksiyonun her $x\in\mathbb{R}$ için her mertebeden türevlenebilir ve her $n\in\mathbb{N}$ için $f^{(n)}(0)=0$ eşitliğini sağladığı gösterilebilir. Dolayısıyla $f$ fonksiyonunun her Taylor polinomu sıfır polinomudur. Diğer yandan her $x\neq0$ için $f(x)>0$ olduğundan bu fonksiyonun Taylor serisi yakınsak olsa da hiçbir $x\neq0$ noktasında $f$ fonksiyonuna yakınsamaz.