Aritmetiğin Temel Teoreminin Sağlanmadığı Bir Tamlık Bölgesi

Aritmetiğin temel teoremi şunu söyler: her tam sayı, çarpanların sıralamasına bakılmaksızın asalların çarpımı biçiminde tek türlü olarak yazılabilir. Örneğin $12=3\times 2^2$ gibi, çarpanların sırasını değiştirerek $2^2\times 3$ açılımını da elde edebilirsiniz fakat kullandığınız asallar ve bunların kuvvetleri hiç değişmez. Bu teorem ilk bakışta ilginizi çekmemiş olabilir çünkü aşikar bir sonuç gibi görünüyor, en azından temel teorem olarak adlandırılacak kadar ilginç görünmüyor. Aslında teoremin söylediği şey o kadar basit değil, tam sayıların dışına çıktığınızda bu özelliği sağlamayan tamlık bölgeleri (sadeleşme yapılabilen halkalar) var.

$a,b\in\mathbb{Z}$ olmak üzere $a+b\sqrt{5}$ biçimindeki tüm reel sayıların kümesini düşünelim, bu küme tam sayılar halkasının bir genişlemesidir ve bir tamlık bölgesidir (standart toplama ve çarpma işlemlerine göre). Bu tamlık bölgesinde $1\lt |a^2-5b^2|\lt 16$ ise $a+b\sqrt{5}$ sayılarının asal olduğu gösterilebilir (buradaki asallık bu tamlık bölgesi kapsamında), özel olarak $2$, $1+\sqrt{5}$ ve $-1+\sqrt{5}$ sayıları bu tamlık bölgesinde birer asal sayıdır. Bu durumda mesela $4$ sayısının $$4=2\times 2=(1+\sqrt{5})\times (-1+\sqrt{5})$$ biçiminde iki farklı açılımı vardır.

Benzer şekilde tam sayılar halkasını $a,b\in\mathbb{Z}$ olmak üzere $a+ib\sqrt{5}$ sayıları ile genişletirseniz yine bir tamlık bölgesi elde edersiniz ve bu tamlık bölgesi de aritmetiğin temel teoremini sağlamaz: $$6=2\times 3=(1+\sqrt{-5})\times (1-\sqrt{-5}).$$

Diğer yandan $a,b\in\mathbb{Z}$ olmak üzere $$a+b\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$$ biçimindeki sayıların kümesi de bir tamlık bölgesidir ve bu tamlık bölgesinde aritmetiğin temel teoremi sağlanır.

Artimetiğin temel teoreminin sağlandığı tamlık bölgelerine tek çarpanlama bölgesi (unique factorization domain, UFD) denir. Yukarıda sıraladığım örneklerde gördüğünüz gibi hangi tamlık bölgelerinin tek çarpanlama bölgesi olduğu çok açık değil, aritmetiğin temel teoremi klasik tam sayılar halkasının bir tek çarpanlama bölgesi olduğunu söylüyor.

Bir tamlık bölgesinde aritmetiğin temel teoreminin sağlanmaması ilginç sonuçlar doğurur, mesela bir kesrin birden fazla sayıda farklı en sade şekli var olabilir. Örneğin ilk ele aldığımız tamlık bölgesinde $$\frac{2(1+\sqrt{5})}{4}$$ kesri $$\frac{2(1+\sqrt{5})}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{2}{-1+\sqrt{5}}$$ olarak iki farklı en sade şekle sahiptir, burada paylar ve paydalar asaldır. Başka bir gariplik de şudur: bu örnekte ele aldığımız $4$ ve $2(1+\sqrt{5})$ sayılarının en büyük ortak bölenleri yoktur.