Birden Fazla Şekilde Sıralanabilen Cisim

Öncelikle sıralama kavramının tanımını şu sayfada vermiştim, bu sayfadaki örneği açıklarken aynı tanımı kullanacağız. Bu sayfayı okumadan önce bu tanıma bir göz atın.

Reel sayılar cismi ve rasyonel sayılar cismi tek bir sıaralam kabul eder, o da bildiğimiz alışılmış sıralamadır. Şimdi pozitif reel sayıların kümesini $\mathcal{P}$ ile gösterelim ve tam kare olmayan $m\in\mathbb{N}$ için $$F:=\{ a+b\sqrt{m}\;:\; a,b\in\mathbb{Q}\}$$ kümesinin ele alalım, bu kümenin standart toplama ve çarpma işlemine göre bir cisim olduğu doğrulanabilir.

Bu cisim, pozitif elemanları $\mathcal{P}_1:= \mathcal{P} \cap F$ biçiminde tanımlanarak sıralanabilir; gerçekten bu kümenin sıralama tanımındaki üç koşulu sağladığı kolaylıkla gösterilebilir. Diğer yandan $$x\in \mathcal{P}_2 \quad\Leftrightarrow\quad a-b\sqrt{m}\in \mathcal{P}$$ olarak tanımlanan $\mathcal{P}_2$ kümesinin de sıralama koşullarını sağladığı ve $F$ üzerinde farklı bir pozitif sınıf tanımladığı gösterilebilir. Sonuç olarak $F$ kümesi iki farklı yolla sıralanabilmektedir.