Sıralanamayan Sonsuz Bir Cisim

Bir $(F,+,\cdot)$ cisminin sıralı bir cisim olması için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir $P$ alt kümesinin var olması gerekir:

1. $P$ kümesi toplamaya göre kapalıdır, yani her $x,y\in P$ için $x+y\in P$ olmalıdır;
2. $P$ kümesi çarpmaya göre kapalıdır, yani her $x,y\in P$ için $x\cdot y\in P$ olmalıdır;
3. her $x\in P$ elemanı için şunlardan tam olarak bir tanesi doğru olmalıdır: $x\in p$, $x=0$ veya $-x\in P$.

Bu durumda $x\in P$ ise buna bir pozitif, $-x\in P$ ise de buna bir negatif eleman denir. Bu yollar $F$ cismi sıfır elemanı, pozitif ve negatif elemanlar olmak üzere üç ayrık sınıfa ayrılmış olur. Yukarıdaki üçüncü maddede yer alan 0 elemanı cismin ilk işleminin birimi ve $-x$ elemanı da $x$‘in ilk işleme göre tersi gösteriliyor.

Bu tanımdan her sıralı cismin sonsuz bir cisim olacağı çıkarılabilir, dolayısıyla sonlu hiç bir cisim sıralanamaz. Peki sıralanamayan sonsuz bir cisim var mıdır? Evet vardır; $\mathbb{C}$ kompleks sayılar cismi. Kompleks sayıları ($a+ib$ biçiminde) sıralı ikililer olarak $(a,b)$ gibi temsil edelim. Pür imajiner sayı olan $i$ sayısı $(0,1)$ ve sıfır kompleks sayısı da $(0,0)$ olarak gösterilmiş olur. $i\neq0$ olduğundan yukarıdaki tanımın (iii) maddesine göre iki olasılık vardır; $i=(0,1)\in P$ veya $-i=(0,-1)\in P$. Eğer $i\in P$ ise bu durumda (ii) gereği $i^2=i\cdot i=(-1,0)\in P$ ve buradan da yine aynı madde gereği $i^4=i^2\cdot i^2=(1,0)\in P$ olmalıdır. Bu durumda ise $i^2+i^4=(0,0)$ olduğundan (i) maddesi ile çelişilmiş oldu. Sonuç olarak bu cisim sıralanamaz.

Kaynak:
B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted. Counterexamples in Analysis, Dover Publications, Inc., New York, 1992.