Fourier Analizi


Isı, yerçekimi gibi, evrenin her maddesine nüfuz eder, onun ışınları uzayın her kısmını işgal eder. Amacım bu öğelerin uyduğu matematiksel kanunları ortaya çıkarmaktır. Isının teorisi bundan sonra genel fiziğin en önemli branşlarından biri olacaktır.

J. B. Joseph Fourier, The Analytical Theory of Heat, 1878.

Bu dersin içeriği genel olarak ısı denklemi olarak bilinen kısmi türevli diferensiyel denklemi içeren bazı sınır değer problemleri ile Fourier serileri üzerinedir. Dersi boyunca sınır değer problemlerinden yola çıkıp ısı iletim problemini, ısı denklemini ve Fourier serilerini keşfedeceğiz.

Bu serilerin temel teorik altyapısını eksiksiz olarak işleyeceğiz, ayrıca bazı ısı iletim problemlerinin klasik Fourier serileri ile çözülemeyeceğini keşfedeceğiz ve bu serilerin bazı önemli genelleştirmeleri ile karşılaşacağız. Bu genelleştirmeler bizi dördüncü bölümde Sturm-Liouville teorisi ile tanıştıracak, bu teorinin temel sonuçlarını ispatlayacağız. Beşinci bölümde daha ileri genelleştirmeleri de tartışacağız, bu tartışmalar ile bu bölüm fonksiyonel analize giriş niteliğinde olacak.

1. Isı İletim Problemi

Özet: Bu bölümde bizi Fourier serisi kavramına götürecek olan problemi tanıyacağız: ısı iletim problemi. Bu problemi temsil eden sınır değer problemini tanıyıp bazı temel özelliklerini inceleyeceğiz. Her bir özellik bizi adım adım Fourier serisi kavramına yaklaştıracak.

1.1. Tarihsel Bir Önsöz

Özet: Bu yazımda Jean Joseph Fourier'in (1768-1830) ilginç yaşam öyküsüne bakacağız. Fourier akademik başarısının dışında tanınan bir idareciydi, Napoleon Bonaparte'ın güvendiği bir isimdi ve Mısır seferinde yer almıştır.

Anahtar Kelimeler: Ecole Polytechnique · Institut D'Egypt · Jean Joseph Fourier

1.2. Isı İletim Denklemi

Özet: Bu ders notunda ısı denklemi olarak bildiğimiz çok önemli bir kısmi türevli diferansiyel denklemi elde edeceğiz. Fiziksel bir problemin modellenmesiyle ulaşılan bu bu denklemi türetirken kullandığımız kurallara bugün Fourier yasaları diyoruz.

Anahtar Kelimeler: Difüzyon Denklemi · Fourier Yasaları · Isı Denklemi

1.3. Sınır Değer Problemleri

Özet: Bu derste çeşitli sınır değer problemi örnekleri vereceğiz ve bunların çözümlerini karşılaştıracağız. Ayrıca bir sınır değer probleminin iyi tanımlı (well-posed) ve kararlı olması kavramlarını tanıtacağız.

Anahtar Kelimeler: Iyi Tanımlı Problem · Jacques Hadamard · Kararlı Çözüm · Sınır Değer Problemi

1.4. Değişkenlere Ayırma Yöntemi

Özet: Bu derste ısı denklemini çözmeye çalışacağız, bunun için değişkenelere ayırma denilen yöntemi kullanacağız. Bu yöntemle ulaştığımız çözümün yapısı sonraki derslerde bizi Fourier serisi kavramına götürecek.

Anahtar Kelimeler: Değişkenlere Ayırma · Isı Denklemi

1.5. Lineerlik ve Süperpozisyon

Özet: Bu derste ısı denkleminin lineerlik özelliğini vurgulayacağız. Bunun sonucu olan süperpozisyon ilkesine de değineceğiz. Bu iki özellik bizi Fourier serisi kavramına bir adım daha yaklaştıracak.

Anahtar Kelimeler: Lineerlik · Süperpozisyon

2. Fourier Serileri

Özet: Bu bölümde Fourier serilerini enine boyuna inceleyeceğiz. Fourier serileri nasıl tanımlanır, nasıl hesaplanır, hangi koşullar altında yakınsaklıkları garanti edilebilir, hangi koşullar altında integrallenebilir gibi sorulara cevap arayacağız.

2.1. Giriş

Özet: Bu kısa ders notunda tekrar Fourier'in çalışmasının tarihine döneceğiz. Fourier bu çalışmalarıyla meşhur olmuş olsa da ömrü boyunca bunların kanıtlarını verememiştir, bu sonuçlara ilişkin ilk kanıtlar Dirichlet tarafından verilecektir.

Anahtar Kelimeler: Cauchy Yakınsaklık Teoremi · Dirichlet · Kök Testi · Oran Testi

2.2. Fourier Serileri

Özet: Birinci bölümde nasıl bir seriye ihtiyaç duyduğumuzu keşfettik, bu bölümde bu serileri tanımlayacağız; Fourier serileri. Ayrıca bazı örnekler üzerinde bir fonsiyonun kendi Fourier serisine nasıl benzediğini gözlemleyeceğiz.

Anahtar Kelimeler: Fourier Katsayıları · Fourier Serisi

2.3. Riemann-Lebesgue Teoremi

Özet: Bu ders notunda integral kavramını kısaca hatırlayacağız, Fourier katsayılarının integrallerle hesaplandığını hatırlayın. Bu bölümde ayrıca Fourier serilerinin yakınsaklığını kanıtlamak için ihtiyacımız olan Riemann-Lebesgue teoremini de kanıtlayacağız.

Anahtar Kelimeler: Darboux · Integral · Lebesgue · Riemann

2.4. Fourier Serilerinin Yakınsaklığı

Özet: Bu ders notunda Fourier serilerinin hangi koşullar altında yakınsak olduğu sorusuna cevap arayacağız. Fourier kendisi bu serilerin yakınsaklığını kanıtlayamamıştır, bu kanıt ilk defa Dirichlet tarafından verilmiştir fakat sadece noktasal yakınsama için. Bir aralık boyunca yakınsama problemi ancak 1966 yılında çözülebildi.

Anahtar Kelimeler: Dirichlet Çekirdeği · Fourier Serisi · Yakınsaklık

2.5. Herhangi Bir Aralıkta Fourier Serileri

Özet: Bu bölümde şu ana kadar standart olarak ele aldığımız aralığın dışında keyfi aralıklarda Fourier serilerini ele alacağız. Ayrıca özel Fourier serileri olan Fourier-sinüs ve Fourier-kosinüs serileri de tanıtılacaktır.

Anahtar Kelimeler: Fourier-Cosinüs Serisi · Fourier-Sinüs Serisi · Periyodik Fonksiyon

2.6. Gibbs Olgusu

Özet: Bu derste Fourier serilerinin yakınsaklığı ile ilgili ilginç bir detaya dikkat çekeceğiz. Gibbs olgusu dediğimiz bu durum bize Fourier serisinin kaç adımı hesaplanırsa hesaplansın, bazı noktalarda fonksiyona %91'den fazla yaklaşılamayacağını söyler. Üstelik bu %9'luk hata payı her fonksiyon ve her aralıkta her Fourier serisi için aynıdır.

Anahtar Kelimeler: Fourier Serisi · Gibbs Olgusu · Yakınsaklık

2.7. Fejer Serileri

Özet: Fourier serilerinin yakınsaklıkları konusunda bazı sıkıntılar olduğunu önceki bölümlerde gördük. Mesela sürekli fonksiyonların bile Fourier serileri sonsuz sayıda noktada ıraksak olabilir, başka bir sıkıntı da Gibbs olgusu. Fourier serileri yerine bunların kısmi toplamlar dizilerinin Cesaro ortalamaları alınarak oluşturulan serilerde bu sıkıntıların oluşmadığı Lipot Fejer tarafından keşfedilmiş.

Anahtar Kelimeler: Cesaro Ortalaması · Fejer Serisi · Fourier Serisi · Gibbs Olgusu · Yakınsaklık

2.8. Fourier Serilerinin İntegrali

Özet: Bildiğiniz gibi bir seri düzgün yakınsak ise terim terim integrallenebilir, bu derste göreceğiz ki Fourier serilerinin integrallenebilmesi için düzgün yakınsaklığa gerek yoktur. Ayrıca bu derste şu soruya da cevap arayacağız; verilen bir trigonometrik serinin bir Fourier serisi olup olmadığını nasıl tespit edebiliriz?

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Fourier Serisi · Integral

3. Isı İletim Problemine Dönüş

Özet: Birinci bölümde ısı iletim problemini elde ettik, ikinci bölümde Fourier serilerini tanıttık. Bu bölümde artık öğrendiklerimizi kullanarak ısı iletim probleminin çözümünü tartışacağız. Öncelikle çözümün varlığını ve kararlılığını elde edeceğiz. Daha sonra da Isı iletim probleminin bazı genellemelerini ele alacağız, bu genellemeler bizi sonraki bölümlerde çok önemli kavramlara götürecek.

3.1. Çözümün Varlığı

Özet: Bu derste ısı iletim denkleminin çözümünün varlığını kanıtlayacağız. Aslında önceki bölümlerde keşfettiğimiz bilgileri kullanarak istenen özelliklerde olan bir fonksiyona, yani ısı iletim denkleminin çözümü olan bir fonksiyona, yakınsak olan Fourier serilerinin varlığını kanıtlayacağız.

Anahtar Kelimeler: Çözümün Varlığı · Fourier Serisi · Heine-Borel Teoremi · Isı Denklemi

3.2. Çözümün Tekliği ve Kararlılığı

Özet: Bir önceki bölümde ısı denkleminin çözümünün varlığını elde etmiştik. Fakat çözümlerin Hadamard anlamında iyi tanımlı olmasını da istiyoruz. Yani çözümlerin tekliği ve kararlılığına ihtiyacımız var, bu bölümde bunları kanıtlayacağız.

Anahtar Kelimeler: Çözümün Tekliği · Kararlı Çözüm · Maksimum Prensibi

3.3. Uç Noktalarda Farklı Sıcaklıklar

Özet: Bu derste ele aldığımız ısı iletim problemini az miktar zorlaştırıyoruz, uç noktalardaki sıcaklıkların farklı olduğu durumu ele alıyoruz. Bu durumda önceki derslerde klasik ısı iletim problemi için elde ettiğimiz sonuçları kullanarak çözümlerin varlığına ve iyi tanımlılığına ulaşacağız.

Anahtar Kelimeler: Denge Durumu Sıcaklığı · Geçici Çözüm · Isı Denklemi

3.4. Uçları Yalıtımlı Çubuk

Özet: Bu derste ortamdan tamamen izole edilmiş bir çubuktaki ısı iletim problemini ele alacağız, Fourier yasalarını kullanarak yeni bir sınır değer problemi türeteceğiz. Daha sonra bunun çözümlerinin varlığı ve kararlılığı üzerinde konuşacağız.

Anahtar Kelimeler: Değişkenlere Ayırma · Isı Denklemi · Sınır Değer Problemi

3.5. Farklı Uç Nokta Koşulları

Özet: Son iki bölümde farklı uç nokta sıcaklıkları ve izole uç noktalar olması durumlarını inceledik. Bu derste bunların bir karışımını, yani bir uç noktanın ortamdan izole olması ve diğer uç noktanın böyle olmaması durumunu inceleyeceğiz.

Anahtar Kelimeler: Değişkenlere Ayırma · Isı Denklemi · Sınır Değer Problemi

3.6. Bir Uçta Isı Konveksiyonu

Özet: Çubuğun bir uç noktası bir şekilde sabit sıcaklıkta tutuluyor ve diğer uç noktasından ortam ile ısı alışverişine izin veriliyor olsun, böyle bir ısı iletimine ısı konveksiyonu denir. Bu derste ısı konveksiyonu problemini tartışacağız.

Anahtar Kelimeler: Değişkenlere Ayırma · Isı Denklemi · Isı Konveksiyonu · Sınır Değer Problemi

3.7. Zamandan Bağımsız Problemler

Özet: Bu derste ısı iletim problemini daha da genelleştireceğiz, bu genel durumda daha önce sabit kabul ettiğimiz bazı parametreleri değişken olarak değerlendireceğiz. Bu derste problemi tanımlayıp yapılacakları listeleyeceğiz.

Anahtar Kelimeler: Isı Denklemi · Sınır Değer Problemi · Zamandan Bağımsız Problem

3.8. Denge Durumu Çözümü

Özet: Bu derste zamandan bağımsız (3.7.1)-(3.7.4) probleminin denge durumu çözümünü araştıracağız. Ayrıca bazı örnekler vereceğiz.

Anahtar Kelimeler: Denge Durumu Sıcaklığı · Zamandan Bağımsız Problem

3.9. Geçici Çözüm

Özet: Bu derste Eğer $u$ fonksiyonu (3.7.1)-(3.7.4) probleminin denge çözümünü araştırmaya başlayacağız. Bu araştırmamızda dokuz önemli soruya cevap vermemiz gerektiğini göreceğiz, bu sorular sonraki bölümlerde bizi önemli kavramlara götürecek.

Anahtar Kelimeler: Değişkenlere Ayırma · Geçici Çözüm · Zamandan Bağımsız Problem

3.10. Tam Çözüm

Özet: Önceki iki bölümde (3.7.1)-(3.7.4) probleminin denge durumu çözümünü ve geçici çözümü araştırdık. Bu bölümde de bu problemin tam çözümünün kararlılığını araştıracağız.

Anahtar Kelimeler: Kararlı Çözüm · Zamandan Bağımsız Problem

3.11. Zamana Bağımlı Problemler

Özet: Bu kısa ders notunda son birkaç derste tartıştığımız zamandan bağımsız problemlerin tersine, zamana bağlı problemlere değinilecektir. Bu konuda kısa bir bilgi verilip çok detaylı araştırma yapılmayacaktır.

Anahtar Kelimeler: Isı Denklemi · Sınır Değer Problemi · Zamana Bağımlı Problemler

4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri

Özet: Bu bölümde Sturm-Liouville teorisini kullanarak, daha önceki bölümlerde karşılaştığımız ve Fourier serilerinin yetersiz kaldığı ısı iletim problemlerinin çözümlerini elde edeceğiz. Bu çözümler, terimleri özel durumlarda trigonometrik fonksiyonlar olan ama genelde öyle olması gerekmeyen sonsuz seriler olacaklar.

4.1. Sturm-Liouville Problemleri

Özet: Bu bölümde genelleştirilmiş Fourier serilerine ilk adımı atmak için Sturm-Liouville teorisine giriş yapıyoruz. Önce Sturm-Liouville problemlerini tanımlayıp bazı örnekler vereceğiz.

Anahtar Kelimeler: Euler Denklemi · Özdeğer · Özfonksiyon · Sturm-Liouville Problemi

4.2. Özdeğerler ve Özfonksiyonlar

Özet: Bu derste daha önce Bölüm 3.9 ile ortaya koyduğumuz dokuz önemli sorudan bazılarına cevap vereceğiz. Bu cevapları özdeğer ve özvektörlerin özelliklerini araştırırken bulacağız.

Anahtar Kelimeler: Özdeğer · Özfonksiyon · Sturm-Liouville Problemi

4.3. Özdeğerlerin Varlığı

Özet: Bu bölüm biraz uzun, Sturm-Liouville teorisinin en önemli sonuçlarını kanıtlayacağız. Elde edeceğimiz bu sonuçlar Bölüm 3.9 ile ortaya koyduğumuz bazı sorulara cevap verecek.

Anahtar Kelimeler: Hill Denklemi · Özdeğer · Periyodik Slp · Prüfer Dönüşümü · Sturm-Liouville Problemi · Sturm Mukayese Teoremi

4.4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri

Özet: Öğrendiklerimizi kullanarak bu bölümde artık genelleştirilmiş Fourier serisi kavramını tanımlayabileceğiz. Ayrıca bu bölümde daha önce Bölüm 3.9 ile ortaya attığımız sorulardan son kalanları da cevaplayacağız.

Anahtar Kelimeler: Genelleştirilmiş Fourier Serisi · Sturm-Liouville Problemi

5. Ortogonal Sistemler

Özet: Bu bölümde Fourier serilerini trigonometrik fonksiyonlardan ve Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarından daha genel olan fonksiyon sınıfları için tanımlayacağız.

5.1. Parseval Özdeşliği

Özet: Bu bölümde ortogonal sistem kavramını tanımlayıp bazı önemli örneklerini vereceğiz. Ayrıca ortogonal sistemler ve tamlık ilişkisi için çok önemli olan Parseval özdeşliğine de ulaşacağız.

Anahtar Kelimeler: Chebyshev Polinomları · Haar Fonksiyonları · İç Çarpım · Norm · Ortogonal Sistem · Parseval Özdeşliği

5.2. Bir Yaklaşım Problemi

Özet: Bu derste şu ilginç ve önemli bilgiyi keşfedeceğiz: integrallenebilir bir fonksiyona yaklaşmanın en iyi yolu onun Fourier serisidir. Ayrıca Parseval özdeşliğinin kısmi ispatı ve Bessel özdeşliğini de vereceğiz.

Anahtar Kelimeler: Bessel Eşitsizliği · Parseval Özdeşliği

5.3. Düzgün Yakınsaklık

Özet: Bu kısa derste daha önce ispatsız olarak verdiğimiz Fourier serilerinin düzgün yakınsaklığına ilişkin temel bir teoremi (Teorem 3.1.2) ispatlayacağız.

Anahtar Kelimeler: Düzgün Yakınsaklık · Fourier Serisi

5.4. Ortalamada Yakınsaklık

Özet: Bu yazımızda Parseval özdeşliğinin tam kanıtına değineceğiz. Ayrıca Fourier serileri ile ortalamada yakınsaklık kavramı arasındaki ilişkiyi de tartışacağız.

Anahtar Kelimeler: Fourier Serisi · Ortalamada Yakınsaklık · Parseval Özdeşliği

5.5. Riesz-Fischer Teoremi

Özet: Bu derste Fourier serilerinin herhangi bir ortogonal sisteme göre tamlığını tartışacağız. Riesz-Fischer teoremi olarak bilinen bu önemli sonuç bugün fonksiyonel analiz olarak adlandırdığımız matematik branşının doğmasına sebep olan bir dizi önemli çalışmadan biridir.

Anahtar Kelimeler: Fonksiyonel Analiz · Fourier Serisi · Hilbert Uzayları · Ortogonal Sistem · Riesz-Fischer Teoremi · Yakınsaklık

KAYNAKÇA

  1. E. A. Gonzalez-Velasco, Fourier Analysis and Boundary Value Problems, Elseiver Science & Technology Books, Massachusetts, 1996.
  2. R. Haberman, Applied Partial Differential Equations, 5th Ed., Pearson Education, New Jersey, 2013.
  3. G. B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications, Brooks/Coole Publishing Company, California, 1992.
  4. G. B. Tolstov, Fourier Series, Dover Publications, New Jersey, 1962.