2.8. Fourier Serilerinin İntegrali

Daha önce Fourier katsayılarını elde ederken (2.2.1) eşitliğinin terim terim integrallenebilir olduğunu varsaymıştık. Fakat daha sonra gördük ki bir fonksiyonun Fourier serisinin kendisine yakınsak olabilmesi için buna gerek yok, yakınsaklık için başka koşular gerekli. Bildiğimiz gibi bir seri düzgün yakınsak ise terim terim integrallenebilir, aşağıdaki sonuçla Fourier serilerin integrallenebilmesi için düzgün yakınsaklığın gerekli olmadığını göstereceğiz.

İspat: Sadece $a=0$ için kanıtlamak yeterlidir, çünkü yakınsak serilerin terim terim toplanabilmesi ve $$\int_a^xf=\int_0^xf-\int_0^a$$ eşitliği gereği bu durumdan genel durum elde edilebilir.

İddia edilen eşitliği elde etmek için $$F(x):=\int_{0}^{x}f(t)\,dt-\frac{1}{2}a_0x$$ olarak tanımlanan $F:[-\pi,\pi]\rightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonunun $(-\pi,\pi)$ aralığındaki yakınsak Fourier serisinin $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x}(a_n\cos nt+b_n\sin nt)\,dt$$ olduğunu göstereceğiz. Öncelikle $F$ fonksiyonu $[-\pi,\pi]$ aralığında sürekli olduğundan ve $$F(\pi)=\int_{0}^{\pi}f(t)\,dt-\frac{1}{2}a_0\pi=a_0\pi-\int_{-\pi}^{0}f(t)\,dt-\frac{1}{2}a_0\pi=\int_{0}^{-\pi}f(t)\,dt+\frac{1}{2}a_0\pi=F(-\pi)$$ olduğundan $F$ fonksiyonunun $\mathbb{R}$ kümesine $2\pi-$periyodik genişlemesi sürekli bir fonksiyon olur. Ayrıca $f$'nin sürekli olduğu her $x$ noktasında $$F'(x)=f(x)-\frac{1}{2}a_0$$ olur, yani $F'$ fonksiyonu $(-\pi,\pi)$ aralığında parçalı sürekli olur. Böylece $F$ fonksiyonu Teorem 2.4.1 ile verilen tüm koşulları saağlar ve $(-\pi,\pi)$ aralığındaki Fourier serisi kendisine eşittir, yani her $x\in\mathbb{R}$ için $$F(x)=\frac{1}{2}A_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(A_n\cos nx+B_n\sin nx)$$ eşitliği geçerlidir.

Buradaki Fourier katsayıları kısmi integrasyonla $n>0$ için \begin{eqnarray*} A_n &=& \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\cos nx\,dx\\ &=& \frac{1}{\pi}\left[\frac{F(x)\sin nx}{n}\bigg|_{-\pi}^\pi-\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}F'(x)\sin nx\,dx\right]\\ &=& -\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left[f(x)-\frac{1}{2}a_0\right]\sin nx\,dx\\ &=& -\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx\\ &=& -\frac{b_n}{n} \end{eqnarray*} ve benzer şekilde $$B_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\sin nx\,dx=\frac{a_n}{n}$$ olarak hesaplanır ve \begin{equation} \label{eq:fs-int1} \tag{2.8.1} F(x)=\frac{1}{2}A_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(a_n\sin nx-b_n\cos nx\right) \end{equation} eşitliğine varılır. Diğer yandan $F$ fonksiyonunun tanımı gereği $F(0)=0$ olduğundan yukarıdaki eşitlikte $x=0$ yazarsak \begin{equation} \label{eq:fs-int2} \tag{2.8.2} 0=F(0)=\frac{1}{2}A_0-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{n} \end{equation} elde edilir. Bunu da yerine yazarsak $$F(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left[a_n\sin nx+b_n(1-\cos nx)\right]=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x}(a_n\cos nt+b_n\sin nt)\,dt$$ elde edilir ki istenendir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Yukarıda \eqref{eq:fs-int2} ile verilen eşitlik bize $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{n}$$ serisinin yakınsak olduğunu gösterir. Bunun yardımıyla bazı trigonometrik serilerin herhangi bir aralıkta bir fonksiyonun Fourier serisi olamayacağı tespit edilebilir. Örneğin $$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$$ serisi ıraksak olduğundan $$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n}\sin nx$$ serisi hiçbir fonksiyonun Fourier serisi olamaz.

Ayrıca yukarıdaki ispatta \eqref{eq:fs-int1} eşitliğinde $A_0$ teriminin Tanım 2.2.1 ile verilen tanımını kullanırsak hesaplamalar için daha pratik olan aşağıdaki sonucu elde ederiz.