3.10. Tam Çözüm

Hem $U$ denge durumu çözümünü hem de $v$ geçici çözümünü bulduğumuza göre artık tam çözümün kararlılığını araştırabiliriz. Daha önceden $u:=U+v$ fonksiyonunun (3.7.1)-(3.7.4) problemini sağladığını biliyoruz. Şimdi bu çözümün negatif olmadığını ve başlangıç ile sınır koşullarına sürekli bağımlı olduğunu göstermeliyiz.

Daha önce ele aldığımız sınır değer problemlerinde kararlılığı maksimum prensibini kullanarak kanıtlamıştık fakat çubuk içinde ısı üretimi olduğu zaman maksimum prensibi sağlanmak zorunda değildir. Bunun yerine aşağıda vereceğimiz iki sonucu kullanacağız.

İspat: Teorem 3.2.1 kanıtında yapılan işlemleri bire bir tekrarlayarak $v$ fonksiyonunun $(x_1,t_1)\in D_T$ noktasında minimum değerini aldığını görebiliriz. Fakat bu durumda $v_t(x_1,t_1)\leq0$, $v_x(x_a,t_1)=0$ ve $v_{xx}(x_1,t_1)\geq0$ olur ki buradan $cv_t-(\kappa v_x)_x=cv_t-\kappa'v-\kappa V_{xx}\leq0$ eşitsizliği elde edilir. Bu ise $$cv_t-(\kappa v_x)_x=cu_t-(\kappa u_x)_x+c\frac{M-m}{2T}>0$$ olmasıyla çelişir. O halde $u$ fonksiyonu minimum değerini $\Gamma_T$ kümesinde almalıdır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Sıradaki Lemmayı ispatsız olarak veriyoruz.

Bu lemmalar geçici çözümü belirleyen (3.9.1)-(3.9.3) sınır değer problemine uygulanabilir, şimdi bunları kısaca ele alalım.

İspat: $u$ fonksiyonu (3.9.1)-(3.9.3) eşitliklerini sağlıyorsa $-u$ fonksiyonu da sağlar, dolayısıyla $-u$ fonksiyonu, $q\equiv0$ ve $c_1=c_2=0$ olarak, Lemma 3.10.1 ve Lemma 3.10.2 koşullarını sağlar. Dolayısıyla bu sonuçlardaki minimum ifadesi $-u$ fonskiyonu için maksimum halini alır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $T>0$ keyfi bir sayı olsun. Sonuç 3.10.1 gereği $u$ fonksiyonunun $\overline{D}_T$ kümesine kısıtlanmışı $M$ maksimum değerini $\Gamma_T$ kümesinde alır. $M\leq0$ (bu durumda $u(x,t)\leq0$ olur), veya $M\geq0$ olabilir. İkinci durumu ele alırsak, yine Sonuç 3.10.1 gereği $u$ fonksiyonunun $\overline{D}_T$ kümesine kısıtlanmışı $t=0$ için maksimum değerini alır ve böylece $t\leq T$ için $u(x,t)\leq M=M_0$ eşitsizliği sağlanır. Burada $T$ sayısı keyfi olduğundan ikinci eşitsizlik kanıtlanmış olur. Birinci eşitsizlik ise aynı düşünüşle, fakat Sonuç 3.10.1 yerine yukarıda verdiğimiz teoremleri kullanarak elde edilir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Şimdi artık tam çözümün kararlılığını elde edebiliriz.

İspat: $u_1$ ve $u_2$ fonksiyonları sırasıyla başlangıç ısı dağılımları $f$ ve $g$ ile verilen (3.7.1)-(3.7.4) probleminin çözümleri olsunlar. Bu durumda $u_1-u_2$ fonksiyonu da $(u_1-u_2)(x,0)=f-g$ başlangıç koşullu (3.9.1)-(3.9.3) probleminin çözümü olur. $f-g$ fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini sırasıyla $M_0$ ve $m_0$ ile gösterirsek, Sonuç 3.10.2 gereği her $(x,t)\in D$ için $$\min\left\{0,m_0\right\}\leq (u_1-u_2)(x,t)\leq\max\{0,M_0\}$$ eşitsizliği sağlanır. Bu da çözümün başlangıç koşuluna sürekli bağımlılığını gösterir. Ayrıca bu eşitsizlikle $f\equiv g$ alırsak çözümün tekliği de elde edilmiş olur.

Bir $u$ çözümünün uç nokta koşullarına sürekli bağımlılığını gösterelim. $U$ denge durumu çözümünü veren formülü hatırlarsak, $U$ çözümünün $c_1$, $c_2$ ve $f$'ye sürekli bağımlı olduğu bu formüllerden açıktır. Bu durumda eğer $v:=u-U$ fonksiyonunu tanımlarsak bu fonksiyon $v(x,0)=f(x)-U(x)$ başlangıç koşuluyla (3.9.1)-(3.9.3) probleminin bir çözümü olur. Yukarıda $u_1-u_2$ fonksiyonu için yaptığımız gibi $v$ fonksiyonun da $f-U$ başlangıç koşuluna sürekli bağımlılığı gösterilebilir. Böylece, $U$'dan dolayı $v$ fonksiyonu $c_1$, $c_2$ ve $f$'ye sürekli bağımlı olur, dolayısıyla $u=U+v$'de bu özelliktedir.

Son olarak $f\geq0$ ise $u\geq0$ olduğunu gösterelim. Eğer $u$ fonksiyonu negatif değerler alsaydı bir $T$ sayısı için $\overline{D}_T$ kümesinde negatif bir minimumu olurdu. Buradan da Lemma 3.10.1 gereği bu minimumu $t=0$ için alacağı sonucunu elde ederiz, bu da $f\geq0$ olmasıyla çelişir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$