3.9. Geçici Çözüm

Eğer $u$ fonksiyonu (3.7.1)-(3.7.4) probleminin bir çözümü ve $U$ fonksiyonu (3.8.1)-(3.8.3) probleminin bir çözümü ise bu durumda $v:=u-U$ fonksiyonu da \begin{eqnarray} cv_{t}=(\kappa v_x)_x ,&& \qquad0\lt x\lt a\text{ ve }t>0\text{ için}\label{bvp3-mod3-1}\tag{3.9.1}\\ a_1v(0,t)-b_1v_x(0,t)=0, && \qquad t\geq0\text{ için}\label{bvp3-mod3-2}\tag{3.9.2}\\ a_2v(a,t)+b_2v_x(10,t)=0, && \qquad t\geq0\text{ için}\label{bvp3-mod3-3}\tag{3.9.3} \\ v(x,0)=f(x)-U(x), && \qquad0\leq x\leq a \text{ için}\label{bvp3-mod3-4}\tag{3.9.4} \end{eqnarray} sınır değer probleminin bir çözümü olacaktır, yani (3.7.1)-(3.7.4) orijinal problemimizin çözümü $u=U+v$ olacaktır.

Bu problemde denklem ve sınır koşulları lineer olduğundan değişkenlere ayırma yöntemi ve süperpozisyon ilkesi kullanılabilir. Eğer $v(x,t)=X(x)T(t)$ biçiminde bit çözüm varsa bunu \eqref{bvp3-mod3-1} eşitliğinde kullanarak $$cXT'=\kappa X''T+\kappa'X'T$$ denklemine varılır. Bu eşitliği $cXT$ ile bölersek $$\frac{T'}{T}=\frac{\kappa X''+\kappa'X'}{cX}$$ eşitliği elde edilir, dikkat edilirse bu eşitliğin sağlanması için her iki tarafın da aynı sabite eşit olması gerekir çünkü bir taraf $t$ değişkeninin diğer taraf is $x$ değişkenini fonksiyonudur. Bu sabiti $-\lambda$ ile gösterirsek $$T'+\lambda T=0$$ ve \begin{equation} \label{eq:bvp3-mod3-eq-1} \tag{3.9.5} \kappa X''+\kappa'X'+\lambda c X=0 \end{equation} diferensiyel denklemlerine varırız. İlk denklemin çözümü iyi bilinse de birkaç özel durum dışında (katsayıların sabit olması gibi) \eqref{eq:bvp3-mod3-eq-1} denkleminin genel çözümü bilinmiyor. Ayrıca bu genel çözüm bilinse bile $$a_1X(0)-a_2X'(0)=0\quad\text{ve}\quad a_2X(a)+b_2X'(a)=0$$ koşullarını sağlayacak bir çözüm üretecek şekilde bir $\lambda$ sayısının varlığı açık değildir.

Fakat şimdi özel olarak verilen $\kappa$ ve $c$ fonksiyonları için bir $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,\ldots$ dizisi bulabildiğimizi ve her $\lambda=\lambda_n$ sayısına karşılık bir \eqref{eq:bvp3-mod3-eq-1} diferensiyel denkleminin çözümü olan ve ilgili sınır koşullarını sağlayan bir $X_n\not\equiv0$ fonksiyonu bulabildiğimizi varsayalım. Bu durumda her $n\in\mathbb{N}$ için, $c_n$'ler keyfi sabitler olmak üzere $$v_n(x,t)=c_ne^{-\lambda_nt}X_n(x)$$ fonksiyonları \eqref{bvp3-mod3-1}-\eqref{bvp3-mod3-3} probleminin bir çözümü olur, lineerlik gereği bu fonksiyonların herhangi sonlu toplamları da bir çözüm olacaktır. Fakat \eqref{bvp3-mod3-4} başlangıç koşulunun sağlanması için \begin{equation} \label{bvp3-mod3-init-1} \tag{3.9.6} \sum\limits_{n=1}^{\infty}c_ne^{-\lambda_nt}X_n(x) \end{equation} sonsuz serisini ele almalıyız. Eğer bu seri sürekli bir $v:\overline{D}\rightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonuna yakınsak ise $t=0$ yazarak ve \eqref{bvp3-mod3-4} eşitliğini kullanarak \begin{equation} \label{bvp3-mod3-init-2} \tag{3.9.7} \sum\limits_{n=1}^{\infty}c_nX_n(x)=f(x)-U(x) \end{equation} eşitliğini elde ederiz. Daha önce Fourier serileri için yaptığımız gibi bu serinin yakınsak olduğunu, terim terim integrallenebildiğini, \eqref{bvp3-mod3-init-2} eşitliğinin sağlandığını ve $m\neq n$ için $$\int_{0}^{a}rX_mX_n=0$$ olacak şekilde integrallenebilir bir $r\not\equiv0$ fonksiyonunun varlığını varsayabilir ve bu koşullar altında \eqref{bvp3-mod3-init-2} eşitliğinin her iki tarafını $rX_m$ ile çarpıp terim terim integralleyerek buradan $c_n$ katsayılarını $$c_n=\frac{\int_{0}^{a}r(f-U)X_n}{\int_{0}^{a}rX^2_n}$$ olarak hesaplayabiliriz. Dikkat edilirse Fourier serilerini araştırırken $r\equiv1$ almıştık ama genel durumda iki fonksiyonun çarpımının integrali sıfır olmazken onların bir $r$ fonksiyonu ile çarpımının integrali sıfır olabilir.

Bu yüzden geçici çözümü elde etmek için $\lambda_n$ sayılarını ve bunlara karşılık gelen $X_n$ fonksiyonlarını belirlemek durumundayız, bu bazı özel durumlarda yapılabilse de her zaman olanaklı değildir.

O zaman genel durumda geçici çözümün varlığını gösterebilir miyiz? Bunu yapabilmek için, yukarıda gördüğümüz gibi, öncelikle bazı sorulara olumlu cevaplar verebilmeliyiz.

1. \eqref{eq:bvp3-mod3-eq-1} denkleminin $a_1X(0)-b_1X'(0)=0$ ve $a_2X(a)+b_2X'(a)=0$ koşullarını sağlayan bir $X\not\equiv0$ çözümü var olacak şekilde $\lambda$ sayıları var mıdır?
2. Varsa bu sayılar reel sayı mıdır?
3. Bu $\lambda$ sayıları bir dizi oluşturur mu?
4. Her $\lambda_n$ sayısına karşılık tek bir $X_n$ (sabitle çarpım hariç) çözümü var mı?
5. $m\neq n$ ise $\int_0^arX_mX_n=0$ olacak şekilde bir $r$ fonksiyonu var mı?
6. Yukarıda verilen $c_n$ katsayılarıyla beraber \eqref{bvp3-mod3-init-1} serisi $f(x)-U(x)$ fonksiyonuna $[0,a]$ aralığında düzgün yakınsar mı?

Bu soruların hepsinin cevabının olumlu olduğunu varsaysak bile hala \eqref{bvp3-mod3-init-1} serisinin $\overline{D}$ kümesinde sürekli olan ve \eqref{bvp3-mod3-1}-\eqref{bvp3-mod3-4} eşitliklerini sağlayan bir fonksiyona yakınsadığını göstermemiz gerekir. Bunu, daha önce verdiğimiz Lemma 3.1.1, Lemma 3.1.2 ve Teorem 3.1.1 kanıtlarını baz alarak yapabiliriz. Eğer $$X_n(x):=\sin\frac{n\pi}{a}x\quad\text{ve}\quad g_n(t):=e^{-n^2\pi^2kt/a^2}$$ notasyonunu kullanırsak Lemma 3.1.1 ve Lemma 3.1.2 kanıtlarının $$\begin{array}{l} A.\quad\text{bir } M>0 \text{ sayısı ve her } n\in\mathbb{N} \text{ için } |c_nX_n|< M,\\ B.\quad t_0>0\text{ keyfi olmak üzere her }t\geq t_0 \text{ ve her } n\in\mathbb{N} \text{ için } g_n(t)\leq g_n(t_0),\\ C.\quad \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left[g_n(t_0)\right]^\frac{1}{n}<1 \end{array}$$koşullarına dayandığını hatırlayalım. Ayrıca Teorem 3.1.1 ve Teorem 3.1.2 kanıtları $$\begin{array}{l} D.\quad\text{her } n\in\mathbb{N} \text{ ve her } t\in[0,\infty) \text{ için } g_n(t)\leq1 \text{ ve } g_{n+1}(t)\leq g_n(t) \end{array}$$ eşitsizliklerine de dayanıyordu.

Genel durumda ise, yani $X_n$ fonksiyonları \eqref{eq:bvp3-mod3-eq-1} denkleminin çözümleri ve $g_n(t):=e^{-\lambda_nt}$ iken, yukarıda (vi) sorusunun cevabını olumlu kabul ettiğimiz için düzgün yakınsaklık gereği A eşitsizliği sağlanır. (Bunu görmek için Cauchy düzgün yakınsaklık kriteri kullanılabilir.) Ayrıca $g_n$ için verdiğimiz diğer dört eşitsizlik de ancak aşağıdaki soruların cevapları olumlu ise sağlanır.

7. Her $n\in\mathbb{N}$ için $0\leq \lambda_n<\lambda_{n+1}$ eşitsizliği sağlanır mı?
8. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\lambda_n}{n}>0$ eşitsizliği sağlanır mı?

Bunların da cevaplarını olumlu kabul edelim, bu durumda \eqref{bvp3-mod3-init-1} serisi sürekli bir $v:\overline{D}\rightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonuna yakınsayacaktır. Bu $v$ fonksiyonunun geçici çözüm olabilmesi için artık sadece $t\rightarrow\infty$ için $v(x,t)\rightarrow0$ olduğunu göstermeliyiz. Eğer $\lambda_1>0$ ise bu durumda (vii) gereği her $n\in\mathbb{N}$ için $\lambda_n/n>0$ olacak ve dolayısıyla (viii) gereği her $n\in\mathbb{N}$ için $\lambda_n/n\geq\alpha$ olacak şekilde bir $\alpha>0$ sayısı bulunabilecektir. Böylece $$|v(x,t)|\leq\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|c_ne^{-\lambda_nt}X_n(x)\right|\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}Me^{-\lambda_nt}\leq M\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(e^{-\alpha t}\right)^n=\frac{e^{-\alpha t}}{1-e^{-\alpha t}}$$ eşitsizliği sağlanacağından $t\rightarrow\infty$ için $v(x,t)\rightarrow0$ olduğu görülmüş olur. Diğer yandan eğer $\lambda_1=0$ ise $\lambda_n\geq n\alpha$ eşitsizliği bu defa $n\geq2$ için sağlanacağından benzer düşünüşle $t\rightarrow\infty$ için $v(x,t)-c_1X_1(x)\rightarrow0$ olacağı açıktır. Dolayısıyla $\lambda_1=0$ durumunda $c_1=0$ oluyorsa bu $v$ fonksiyonu yine geçici çözüm olur. O halde şu sorunun da cevabının olumlu olması gerekmektedir

9. $\lambda_1=0$ ise $c_1=0$ oluyor mu?

Sonuç olarak bu dokuz soruyu olumlu olarak cevaplamak şartıyla geçici çözümün varlığına ulaşmış oluruz. Bu soruların detaylı araştırmasını daha sonra yapacağız.