3.7. Zamandan Bağımsız Problemler

Önceki bölümlerde ısı denklemine ilişkin birkaç sınır değer problemini inceledik. Benzer şekilde gerek ısı yayılım denklemini genelleştirerek gerekse sınır koşullarını genelleştirerek çeşitli sınır değer problemleri elde edilebilir. Örneğin ısı iletim denklemindeki öz ısı katsayısı $c$, yoğunluk $\rho$ veya iletkenlik katsayısı $\kappa$ gibi parametreler sabit yerine $x$'e göre değişken olabilir, ayrıca çubuk içinde yine $x$'e bağlı bir $q$ fonksiyonu ile ısı üretiliyor olabilir. Böyle bir durumda, sadelik açısından $c\rho$ yerine $c$ yazarsak, $D$ kümesindeki ısı yayılımı \begin{equation} \label{bvp3-heat-1} \tag{3.7.1} cu_t=(\kappa u_x)_x+q \end{equation} denklemi ile verilir. Burada $c,\kappa$ ve $q$ fonksiyonlarının $[0,a]$ aralığında sürekli, $c$ ve $\kappa$'nın pozitif ayrıca $\kappa$'nın türevinin sürekli olduğunu varsayıyoruz.

Yine sıcaklığın mutlak sıfırdan itibaren ölçüldüğünü varsayacağız. Ele alacağımız problem \eqref{bvp3-heat-1} denkleminin \begin{eqnarray} a_1u(0,t)-b_1u_x(0,t)=c_1, && \quad t\geq0\text{ için}\label{bvp3-mod-1}\tag{3.7.2}\\ a_2u(a,t)+b_2u_x(a,t)=c_2, && \quad t\geq0\text{ için}\label{bvp3-mod-2}\tag{3.7.3} \\ u(x,0)=f(x), && \quad0\leq x\leq a \text{ için}\label{bvp3-mod-3}\tag{3.7.4} \end{eqnarray} koşullarını sağlayan, sürekli, negatif olmayan ve sınırlı bir çözümünün bulunması problemidir. Bu problemi araştırıken aşağıdaki koşullar altında çalışacağız:

1. $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1$ ve $c_2$ negatif olmayan sabitlerdir,
2. $a_1+b_1>0$ ve $a_2+b_2>0$'dır,
3. eğer $a_1=a_2=0$ ise bu durumda $c_1=c_2=0$ ve $q\equiv0$'dır,
4. $f$ fonksiyonu negatif olmayan, sürekli, türevi parçalı sürekli ve $a_1f(0)-b_1f'(0)=c_1$ ile $a_2f(a)+b_2f'(a)=c_2$ eşitliklerini sağlar.

Bu koşullar ilk bakışta fazla kısıtlayıcı veya anlamsız görünse de problemin doğasına aykırı olan bazı olasılıkların oluşmasını engellemek için gereklidir, bunları kısaca açıklayalım.

İlk koşula bakacak olursak, $a_1\geq0$ olabildiğini, veya diğer durumda \eqref{bvp3-mod-1} uç nokta koşulunu $-1$ ile çarparak bu hale getirebileceğimizi görürüz. Fakat mesela ilk hipoteze aykırı bir şekilde $a_1>0$, $b_1=0$ ve $c_1<0$ ise $u(0,t)<0$ olurdu, bu ise mutlak sıfırdan ölçülen sıcaklığın negatif olamayacağı gerçeğiyle çelişir. Benzer şekilde eğer $a_1>0$, $b_1<0$, $c_1>0$ ve $u(0,t)>c_1/a_1$ ise bu durumda da $u_x(0,t)<0$ olur ki bu da sıcaklığı $u(0,t)$ olan, yani ortam sıcaklığı olan $c_1/a_1$'dan daha sıcak olan sol uç noktadan çubuğa ısı geçişinin olduğu anlamına gelir ki bu mümkün değildir. Malesef ilk koşul bazı olası durumları da engeller, örneğin eğer $a_1=0$, $b_1<0$ ve $c_1>0$ ise ısı çubuğu $x=0$ noktasında sabit bir oranla terk ediyor demektir. Bu durum fiziksel olarak olanaklıdır fakat dikkatli incelenmelidir, örneğin bu durumda ek olarak $a_2=c_2=0$ ise çubuğun $x=a$ uç noktası ortamdan izole demektir ve bu durumda sol uçtan ortama ısı akması için çubuğun içinde yeterli miktarda ısı üretimi mevcut olmalıdır. İkinci hipoteze bakacak olursak, bu hipotez bize uç nokta koşullarının eksik verilmemesini garanti eder. Örneğin eğer $a_1\geq0$ ve $b_1\geq0$ ise $a_1+b_1>0$ koşulu bu iki sabitin aynı anda sıfır olamayacağını belirtir. Eğer bunlardan ikisi de sıfır olsaydı $c_1=0$ olurdu ve $x=0$ noktasında bir koşul verilmemiş olurdu. Üçüncü koşula bakalım, $a_1=a_2=0$ durumu özel bir durumdur, çubuğun her iki uç noktasının da ortamdan izole olduğu duruma karşılık gelir. Böyle bir durumda eğer $q\equiv0$ değilse çubuk sınırsızca ısınır. Ayrıca bu durumda $q\equiv0$ olsa bile eğer $c_1>0$ veya $c_2>0$ ise, ikici koşula göre $b_1>0$ ve $b_2>0$ olduğundan uç noktalardan çubuğa sabit hızda ısı girer ve çubuk yine sınırsızca ısınır. Gerçekten bu durumda \begin{eqnarray}\label{bvp3-eq-1} \frac{d}{dt}\int_{0}^{a}aAu(s,t)\,ds &=& A\int_{0}^{a}cu_t(s,t)\,ds\tag{3.7.5}\\ &=& A\int_{0}^{a}\left[(\kappa u_x)_x(s,t)+q(s)\right]\,ds\notag\\ &=& A\left[(\kappa u_x)(a,t)-(\kappa u_x(0,t))+\int_{0}^{a}q(s)\,ds \right]\notag\\ &=& A\left[ \kappa(a)\frac{c_2}{b_2}+\kappa(0)\frac{c_1}{b_1}+\int_{0}^{a}q(s)\,ds \right]\notag \end{eqnarray} olduğundan, ve $A$, $\kappa$, $b_1$, $b_2$ pozitif olduğundan $q\equiv0$ ve $c_1=c_2=0$ olmadıkça bu türev pozitiftir ve dolayısıyla ısı sürekli artar.

Dikkat edilirse ele aldığımız bu problemin daha önce çalıştığımız tüm sınır değer problemlerini kapsayan oldukça genel bir problem olduğunu görürüz. Daha önce çalıştığımız bu özel durumlarda izlediğimiz adımları bu problem için de izleyeceğiz, yani bu denklem için aşağıdakileri uygulayacağız.

1. Denge durumu çözümünün tespiti: Bu $U$ çözümü zamandan bağımsızdır, \eqref{bvp3-heat-1} ve \eqref{bvp3-mod-2} koşullarını sağlar, \eqref{bvp3-mod-3} koşulunu sağlamak zorunda değildir. Tam çözümün $t\rightarrow\infty$ için $U$ denge durumu çözümüne yakınsaması beklenir.

2. Geçici çözümün tespiti: Bu $v$ çözümü $q\equiv0$, $c_1=c_2=0$ ve $v(x,0)=f(x)-U(x)$ başlangıç koşuluna karşılık gelen çözümdür. Bu koşullarda ısı denklemi ve uç nokta koşulları lineerdir, değişkenlere ayırma yöntemi ve süperpozisyon ilkesi ile $v$ çözümü elde edilebilir.

3. Tam çözümün elde edimesi: Hem denge durumu çözümü $U$ hem de geçici çözüm $v$ bulunmuşsa $u:=U+v$ fonksiyonunun orijinal problemin bir çözümü olduğu açıktır, fakat bu fonksiyonun negatif olmadığı gösterilmelidir.

4. Çözümün tekliğinin ve kararlılığının tespiti: Bir çözüm bulunduktan sonra onun tek çözüm olduğu ve başlangıç ile sınır verilerine sürekli bağımlı olduğu gösterilmelidir.

Yukarıdaki dört adım önümüzdeki bölümlerde sırasıyla ele alınacaktır.