3.11. Zamana Bağımlı Problemler

Bu tip problemler iç üretimi ve sınır koşulları zaman değişkenine bağlı olan $$\begin{array}{ll} cu_{t}=(\kappa u_x)_x+q(x,t) ,&\qquad (x,t)\in D\text{ için}\\ a_1u(0,t)-b_1u_x(0,t)=g(t), & \qquad t\geq0\text{ için}\\ a_2u(a,t)+b_2u_x(a,t)=h(t), & \qquad t\geq0\text{ için} \\ u(x,0)=f(x), & \qquad0\leq x\leq a \text{ için} \end{array}$$ biçimindeki problemlerdir. Çok genel olan bu problem için de $a_1$, $b_1$, $a_2$ ve $b_2$ sayıları üzerinde önceki bölümlerde gördüklerimize benzer varsayımlar vardır. Önceki bölümlerde yaptığımız gibi çözmeye çalışırsak hemen denge durmu çözümünün zamana bağlı olduğunu, dolayısıyla kısmi bir diferensiyel denklem olduğunu farkederiz, yine de bunun çözümü kolayca elde edilebilir. Geçici çözümü ele aldığımızda ise değişkenlere ayırma yönteminin kullanılamadığı bir probleme ulaşırız. Fakat önceki bölümlerde kullandığımız yöntemler üzerinde küçük değişiklikler yaparak geçici çözümü araştırabiliriz ve bu durumda yine Bölüm 3.9'da ortaya koyduğumuz dokuz sorunun olumlu olarak cevaplanabilmesi koşulu altında geçici çözümün var olacağı sonucuna varırız. Bu işlemlerin detayına girmiyoruz, ilgili okur inceleyebilir.