5.4. Ortalamada Yakınsaklık

Kayıt Tarihi:

Son Güncelleme:

Özet:

Bu yazımızda Parseval özdeşliğinin tam kanıtına değineceğiz. Ayrıca Fourier serileri ile ortalamada yakınsaklık kavramı arasındaki ilişkiyi de tartışacağız.

Anahtar Kelimeler: Fourier serisi · ortalamada yakınsaklık · Parseval özdeşliği

Gram'ın elde ettiği sonuç sonrasında 1907 yılında Ernst Fischer (1875-1959) yeni bir çeşit yakınsaklık kavramı tanımladı.

Tanım 5.4.1
$(a,b)$ aralığında integrallenebilir $f$ fonksiyonlarının $\{f_n\}$ dizisi için $n\rightarrow\infty$ iken $\Vert f-f_n\Vert\rightarrow0$ oluyorsa bu dizi $n\rightarrow\infty$ iken $f$ fonksiyonuna ortalamada yakınsaktır denir, bu durum $$\text{l.i.m.}f_n=f$$ olarak gösterilir.

Bu tanımda $\text{l.i.m.}$ ifadesi "limit in the means" ifadesinin kısaltılmışıdır. Bu tanım ışığında Gram'ın sonuçlarından olan Sonuç 5.2.1 aşağıdaki şekilde yeniden ifade edilebilir.

Teorem 5.4.1
$f$ fonksiyonu $(a,b)$ aralığında integrallenebilir ve $\{\varphi_n \}$ de bu aralıkta ortogonal bir sistem olsun. Bu durumda $f$ fonksiyonunun bu ortogonal sisteme göre Fourier serisinin kendisine ortalamada yakınsak olması için gerek ve yeter koşul $f$ fonksiyonu için Parseval özdeşliğinin sağlanmasıdır.

Artık çok önemli olan Parseval özdeşliğinin kanıtı meselesine geçebiliriz. Bunun özel bir durum olan trigonometrik ortogonal sistem için kanıtı birbirinden bağımsız olarak 1893 yılında Charles Jean de la Vallee Poussin (1866-1962), 1896 yılında Aleksandr Mikhailovich Liapunov (1857-1918) ve 1903 yılında Adolf Hurwitz (1859-1919) tarafından verilmiştir.

Biz şimdi kanıtı daha genel olarak $$\begin{array}{l} (pX')'+(\lambda r-q)X=0\\ a_1X(a)-b_1X'(a)=0\\ a_2X(b)+b_2X'(b)=0 \end{array}$$ düzgün Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonları tarafından oluşturulan ortogonal sistemde vereceğiz. Bu kanıtı detaya girmeden verip teknik detayları okuyucuya bırakacağız, ayrıca Sturm-Liouville problemleriyle bağlantılı olmayan keyfi ortogonal sistemler için kanıt bir sonraki bölümde Riesz-Fischer teoreminin kanıtıyla verilmiş olacak.

Teorem 5.4.2
$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ integrallenebilir bir fonksiyon ve $\{X_n\}$ de $[a,b]$ aralığında düzgün bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarının dizisi olsun. Bu durumda $$\Vert f\Vert^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_n^2\Vert X_n\Vert^2$$ Parseval özdeşliği sağlanır ve $f$ fonksiyonunun $\{X_n\}$ sistemine göre Fourier serisi $f$ fonksiyonuna ortalamada yakınsar.

İspat: Aşağıdakilerin sağlandığını varsayalım:

  1. $f$ fonksiyonuna yeterince küçük $\eta>0$ için $[a,a+\eta)\cup(b-\eta,b]$ aralığında özdeş olarak sıfır olan parçalı sürekli bir $g$ fonksiyonu ile istenilen yakınlıkta yaklaşılabilsin.
  2. Köşeleri yuvarlayarak, $g$ fonksiyonuna $C^1$ sınıfından olan ve $h(a)=h(b)=h'(a)=h'(b)=0$ koşulunu sağlayan bir $h$ fonksiyonuna istenilen yakınlıkta yaklaşılabilsin.
  3. Yeterince büyük $N$ sayısı için, $h$ fonksiyonuna $f$'in $\{X_n\}$'e göre $N-$inci Fourier kısmi toplamı ile istenilen yakınlıkta düzgün olarak yaklaşılabilsin.
  4. $N\rightarrow\infty$ iken $\Vert f-h_N\Vert\rightarrow0$ olsun.

Bu kabuller sonucunda, $h_N$ terimi $\sum_{n=1}^{N}k_nX_n$ biçimine sahip olduğuna dikkat ederek, $f$'in $\{X_n\}$'e göre $N-$inci Fourier kısmi toplamını $s_N$ ile gösterirsek Teorem 5.4.1 gereği $$0\leq\Vert f-s_N\Vert^2\leq\Vert f-h_N\Vert^2$$ olduğu görülür. Böylece $\text{l.i.m.}s_N=f$ elde edilir ve $f$ fonksiyonu $\{X_n\}$'e göre Parseval özdeşliğini sağlar. Bu durumda kanıtı tamamlamak için yukarıdaki dört varsayımın sağlandığı gösterilmelidir, bunlar okuyucuya bırakılmıştır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Bu sonucu Teorem 4.4.1 ile karşılaştırısak şunu farkederiz: integrallenebilir bir fonksiyonun Fourier serisi için ortalamada yakınsaklık her zaman sağlanır, fakat noktasal yakınsaklık için bazı ek koşullar gereklidir.

Aşağıdaki sonuç ile Teorem 5.4.2'nin trigonometrik ortogonal sistem için ifadesini veriyoruz, kanıtı da Teorem 5.4.2'nin detaylı kanıtından kolaylıkla görülebilir.

Teorem 5.4.3
$f:(-\pi,\pi)\rightarrow\mathbb{R}$ integrallenebilir fonksiyonunun bu aralıktaki Fourier serisi $$\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\cos nx)$$ olsun. Bu durumda $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2=\frac{1}{2}a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)$$ Parseval özdeşliği sağlanır, (5.3.1) ortogonal sistemi tamdır, ve yukarıdaki Fourier serisi $f$ fonksiyonuna ortalamada yakınsaktır.

Elbette verilen ortogonal sistem bir Sturm-Liouville probleminden elde edilmemişse yukarıdaki ispatlar geçerli değildir, bu durumda verilen sistemin özelliklerine göre farklı ispat yöntemleri geliştiririlebilir. Örneğin Haar fonksiyonlarının oluşturduğu ortogonal sistem için aşağıdaki sonuç kanıtlanabilir.

Teorem 5.4.4
Eğer $f$ fonksiyonu $[0,1)$ aralığında integrallenebilir ise, bu durumda Haar ortogonal sistemine göre $f$ fonksiyonu için Parseval özdeşliği sağlanır.

Önceki Ders Notu:
5.3. Düzgün Yakınsaklık
Dersin Ana Sayfası:
Fourier Analizi
Sonraki Ders Notu:
5.5. Riesz-Fischer Teoremi