5.2. Bir Yaklaşım Problemi

Verilen bir $\{\varphi_n\}$ ortogonal sistemi ve bir $N$ doğal sayısı için Gram şu problemi ele aldı: ilk $N$ tane ortogonal fonksiyonu kullanarak verilen integrallenebilir bir $f$ fonksiyonuna $$\sum_{n=1}^{N}k_n\varphi_n$$ lineer kombinasyonuyla en iyi yaklaşımı sağlayan $k_n$ katsayıları nelerdir? (Aslında Gram bu çalışmasında ortogonal değil lineer bağımsız bir sistem ele almıştı ve bu lineer bağımsız sistemi ortogonal bir sisteme çevirmek için bir method bulmuştu, bu method daha sonra 1907 yılında Schmidt tarafından da keşfedildi.) Burada Gram bu problemi ele alırken yaklaşımdaki hatayı $$E_N:=\bigg\Vert f-\sum_{n=1}^{N}k_n\varphi_n \bigg\Vert^2$$ olarak tanımlamıştı, yani aradığı $k_n$ katsayıları bu $E_N$ ifadesini minimize edecek sayılardı. Sıradaki teoremle Gram'ın elde ettiği sonucu veriyoruz.

İspat: Sabit $k_n$ sayıları için $\sigma_N:=\sum_{n=1}^{N}k_n\varphi_n$ tanımlayalım, $m\neq n$ için $\langle f,\varphi_n\rangle=0$ olduğunu kullanarak \begin{eqnarray*} E_N=\Vert f-\sigma_N\Vert &=& \langle f-\sigma_N,f-\sigma_N\rangle\\ &=& \langle f,f\rangle - \langle\sigma_N,f \rangle -\langle f,\sigma_N\rangle + \langle\sigma_N,\sigma_N \rangle\\ &=& \Vert f\Vert^2-2\langle f,\sigma_N\rangle+\langle\sigma_N,\sigma_N \rangle\\ &=& \Vert f\Vert^2-2\sum_{n=1}^{N}k_n\langle f,\varphi_n\rangle+\sum_{n=1}^{N}k_n^2\langle \varphi_n,\varphi_n\rangle \end{eqnarray*} olduğu görülür. Tanım 5.1.2 gereği $\langle f,\varphi_n\rangle=c_n\Vert\varphi_n\Vert^2$ olduğundan bu eşitliğin sağ tarafı $$\Vert f\Vert^2+\sum_{n=1}^{N}\left[k_n^2\Vert\varphi_n\Vert^2-2k_nc_n\Vert\varphi_n\Vert^2\right]=\Vert f\Vert^2+\sum_{n=1}^{N}\left[k_n\Vert\varphi_n\Vert-c_n\Vert\varphi_n\Vert \right]^2-\sum_{n=1}^{N}c_n^2\Vert\varphi_n\Vert^2$$ halini alır. Bu son ifadenin minimum değerini $k_n=c_n$ için alacağı açıktır, bu değer de \eqref{eq:ortogonal-2} ile verildiği gibidir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Bu sonuç bize integrallenebilir bir fonksiyona yaklaşmanın en iyi yolununun onun Fourier serisini kullanmak olduğunu söyler ki bu da oldukça ilginç ve beklenmedik bir sonuçtur.

Bu teoremin sonucu olarak artık integrallenebilir keyfi bir fonksiyona $N-$inci Fourier kısmi toplamı olan $s_N$ ile yaklaşırken oluşan hata payının $N\rightarrow\infty$ için sıfır olmasını umabiliriz. Gerçekten Teorem 5.2.1 gereği $$\Vert f-s_N\Vert^2=\Vert f\Vert^2-\sum_{n=1}^{N}c_n^2\Vert\varphi_n\Vert^2$$ olduğunu gördük, eşitliğin sağ tarafının $N\rightarrow\infty$ iken sıfır olması için gerek ve yeter koşulun Parseval özdeşliğinin sağlanması olduğu açıkça görünüyor.

Bu sonuç Parseval özdeşliğinin önemini açık bir şekilde gösteriyor. Buraya kadar gördüğümüz gibi bu özdeşlik hem ortogonal sistemlerin tamlığı hem de Fourier serilerinin yakınsaklığı konularında kilit öneme sahip. Bunun dışında bizim değinmeyeceğimiz, Fourier serilerinin terim terim integrallenmesi, bazı değişik serilerin toplamlarının hesaplanması gibi, başka problemlerin de çözümünde Parseval özdeşliğinden faydalanılır.

Daha sonra Parseval özdeşliğine döneceğiz, şimdi daha basit bir sonuç elde edelim. Her $N$ doğal sayısı için \eqref{eq:ortogonal-2} ile verilen ifade negatif olmadığından $E_N$'in minimum değeri de negatif olamaz. Ayrıca burada $N$ keyfi olduğundan aşağıdaki sonuç elde edilmiş olur. Bu sonuç ilk defa 1828 yılında Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) tarafından trigonometrik ortogonal sistem için kanıtlanmıştır. Bessel eşitsizliği denilen bu sonuç Parseval özdeşliğinin kolay olan kısmıdır, bir sonraki bölümde bu sonucu kullanarak üçüncü bölümde bıraktığımız bir eksikliği gidereceğiz.