5.1. Parseval Özdeşliği

Genelleştirilmiş Fourier serileri David Hilbert (1862-1943) tarafından 1904 ve 1906 yılları arasında bazı çok önemli çalışmalarda kullanıldı. Fakat Hilbert çalışmalarında Sturm-Liouville problemlerinin özfonksiyonlarını kullanmayarak Fourier serilerini bir adım daha genelleştirdi. Bir önceki bölümden hatırlayacak olursak Fourier katsayılarının hesaplanmasında ihtiyacımız olan kritik özellik ortogonallikti, yani $$m\neq n\quad\text{için}\quad\int_{a}^{b}rX_mX_n=0$$ olmasıydı. Hilbert, özfonksiyon olup olmadıklarına bakmaksızın bu özelliği sağlayan fonksiyonların bir kümesini ele aldı.

Böyle bir kümeyi düzgün bir şekilde tanımlamak için aşağıdaki gösterimleri sıklıkla kullanacağız. Eğer $f$ ve $g$ fonksiyonları $(a,b)$ aralığında integrallenebilir ise ve $r$ de bu aralıkta sürekli ve pozitif olarak verilmiş bir fonksiyon ise $f$ ile $g$ fonksiyonlarının iç çarpımı $$\langle f,g \rangle:=\int_{a}^{b}rfg$$ olarak, $f$ fonksiyonunun normu da $$\Vert f\Vert:=\sqrt{\langle f,f\rangle}$$ olarak tanımlanır. Bu tanımlar tamamen $r$ fonksiyonu bağlıdır ve bu fonksiyona ağırlık fonksiyonu denir. $f$, $g$, $h$ integrallenebilir fonksiyonlar ve $c$ bir sabit olmak üzere aşağıdaki birkaç temel özellik kolaylıkla kanıtlanabilir

1. $\langle f,g\rangle=\langle g,f\rangle$,
2. $\langle f+g,\,h\rangle=\langle f,h\rangle+\langle g,h\rangle$,
3. $\langle cf,g\rangle=c\langle f,g\rangle$.

Bir önceki bölümde bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarının ortogonal bir sistem oluşturduğunu gördük. Sırada vereceğimiz örnekler herhangi bir Sturm-Liouville probleminden elde edilmemiştir.

Şekil 5.1: Örnek 5.1.2'de tanıtılan Haar fonksiyonlarının bazı örnekleri.

Bu bölümde tanımladığımız ortogonal sistem kavramının ve bu bölümün devamında elde edeceğimiz teorisinin çok kullanışlı iki genelleştirilmesi vardır. Bunlardan birincisi kavramı $(a,b)$ aralığı yerine sonsuz da olabilen aralıklara taşımaktır, bu durumda karşılaşılan genelleştirilmiş integraller dikkatlice incelenmeli ve normun varlığı garanti altına alınmalıdır. Diğer genelleştirme ise fonksiyonları kompleks değerli kabul etmektir, bu durumda iç çarpım tanımındaki $fg$ çarpımı $f\overline{g}$ ile değişir ve iç çarpımın yukarıda sıralanan özelliklerden ilki $\langle f,g\rangle=\overline{\langle g,f\rangle}$ biçimini alır.

Biz şimdi Fourier serilerini genel ortogonal sistemler üzerine genelleştirmek için reel değerli fonksiyonları ele alacağız.

Buradan itibaren sadece reel değerli fonksiyonları ele alacağız. Temel sorumuz bir fonksiyonun Fourier serisinin kendisine yakınsak olup olmadığı sorusudur, yani \begin{equation} \label{eq:ortogonal-1} \tag{5.1.1} f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\varphi_n \end{equation} eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığı sorusudur. İlk akla gelen nokta, Fourier'in de 1809 yılında dikkat çektiği gibi, $\{\varphi_n\}$ ortogonal sisteminde bu eşitliği sağlatmaya yetecek kadar fonksiyonun bulunamayabileceği durumudur. Örneğin $$\{\sin x,\sin 2x,\ldots,\sin nx,\ldots \}$$ sistemi $(-\pi,\pi)$ aralığında ortogonaldır fakat \eqref{eq:ortogonal-1} eşitliği $f\equiv1$ için sağlanmaz, çünkü bu durumda tüm Fourier katsayıları sıfır olur. Bu durumu daha yakından görmek için şöyle bir örnek de verebiliriz. $c_1$, $c_2$ ve $c_3$ ile bir $p\in\mathbb{R}^3$ noktasının koordinatlarını gösterelim. $\varphi_1=(1,0,0)$, $\varphi_2=(0,1,0)$ ve $\varphi_3=(0,0,1)$ ortogonal vektörleri için $p=(c_1,c_2,c_3)$ noktası $$\sum_{n=1}^{3}c_n\varphi_n$$ biçiminde gösterilir. Fakat keyfi bir $p$ noktası $\{\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3 \}$'ten daha küçük olan bir sistemde bu şekilde ifade edilemez, örneğin $p=(0,0,1)$ noktası $\{\varphi_1,\varphi_2 \}$ ortogonal sisteminde ifade edilemez. Bu örneklere benzer şekilde integrallenebilir fonksiyonlarla çalışırken $\{\varphi_n \}$ ortogonal sistemini korrdinat sistemimiz gibi düşünebiliriz. Bu durumda Fourier katsayıları da koordinatlarımız olacaktır. Bu durumda da $\{\varphi_n \}$ yeteri kadar geniş bir ortogonal sistem değilse keyfi bir $f$ fonksiyonu için \eqref{eq:ortogonal-1} eşitliği sağlanamayabilir. Gerçekten, pozitif normlu bir $f$ fonksiyonu her bir $\varphi_n$ ile ortogonal oluyorsa onun tüm Fourier katsayıları sıfır olacağından \eqref{eq:ortogonal-1} eşitliği sağlanmaz. Bu durumda aşağıdaki tanımı yapmak anlamlıdır.

Yukarıdaki açıklamalardan genel durumda Fourier serilerinin yakınsaklığı için ortogonal sistemin tam olmasının gerekliliği anlaşılıyor. Peki verilen bir ortogonal sistemin tam olup olmadığı nasıl anlaşılır? Bu konuda Tanım 5.1.3 fazla ipucu vermez, bu soruyu cevaplamak için önce yine $\mathbb{R}^2$ Öklid uzayında gözlem yapalım. Eğer $p\in\mathbb{R}^3$ noktasının orijine uzaklığını $\Vert p\Vert$ ile gösterirsek Pisagor teoremi gereği $$\Vert p\Vert^2=\sum_{n=1}^{3}\Vert c_n\varphi_n\Vert^2=\sum_{n=1}^{3}c_n^2\Vert\varphi_n\Vert^2$$ eşitliği sağlanır. Bu özdeşiliğin her $p\in\mathbb{R}^3$ için $\{\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3 \}$ sisteminden daha küçük bir ortogonal sistemde sağlanmayacağı açıktır. Tersine, her $p\in\mathbb{R}^3$ için bu eşitlik sağlandığından $\{\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3 \}$ sisteminin tam olduğu açıktır. Ayrıca bir $p$ noktası her $\varphi_n$ vektörüne ortogonal ise bu durumda $c_n=p\cdot \varphi_n=0$ olacağından Pisagor teoreminden $\Vert p\Vert=0$ olduğu görülür.

Şimdi bir $f$ fonksiyonunun sıfır fonksiyonuna olan uzaklığını fonksiyonun normu ile, yani $$\Vert f\Vert=\sqrt{rf^2}$$ ölçtüğümüzü varsayalım, bu durumda Pisagor teoreminden \begin{equation} \label{eq:ortogonal-parseval} \tag{5.1.2} \Vert f\Vert^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_n^2\Vert\varphi_n\Vert^2 \end{equation} eşitliği elde edilir. Bu eşitliği ilk defa 1799 yılında kuvvet serileri için Marc Antoine Parseval-Deschenes (1755-1836) ifade etmiştir, günümüzde bu eşitliğe Parseval özdeşliği diyoruz. Az önce yaptığımız gözlemlerin sonucu olarak bir ortogonal sistemin tam olması için gerek ve yeter koşulun o sistemde Parseval özdeşliğinin sağlanması olduğunu düşünebiliriz, bu doğrudur. Bunun yeterlilik kısmını kolayca ispatlayabiliriz, gereklilik kısmını ispatlamak için biraz daha araştırma yapmaya ihtiyacımız var.

İspat: Eğer $\{\varphi_n\}$ sistemi tam değilse pozitif normlu ve her bir $\varphi_n$ fonksiyonuna ortogonal olan bir $f$ fonksiyonu vardır. Fakat bu durumda her $n$ için $f$ fonksiyonunun Fourier katsayıları sıfır olacağından $$0<\Vert f\Vert^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_n^2\Vert\varphi_n\Vert=0$$ çelişkisi elde edilir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Bu sonuç doğrultusunda şu soruyu sorabiliriz: bir ortogonal sistem verlidiğinde, her integrallenebilir $f$ fonksiyonu için Parseval özdeşliğinin sağlanıp sağlanmadığını nasıl söyleyebiliriz? Fakat bu durumda daha önce sorduğumuz sorudan hareket edip kolay olmayan başka bir soruya atlamış oluruz. 1883 yılında Jorgen Pedersen Gram (1850-1916) bir yaklaşım problemi üzerinde çalışırken Fourier serileri hakkında beklenmedik bir şey keşfetti, ne yapmamız gerektiği hakkında bize bir ipucu verecek olan bu keşife sıradaki bölümde değineceğiz.