5.3. Düzgün Yakınsaklık

Çalıştığımız probleme bu bölümde kısa bir ara verip Fourier serilerinin düzgün yakınsaklığını (Teorem 3.1.2) kanıtlayacağız. Uygun bir değişken dönüşümü ile genel duruma geçilebileceğinden bir $f:(-\pi,\pi)\rightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonu için kanıt yeterli olacaktır. Bu durumda \begin{equation} \label{eq:ortogonal-3} \tag{5.3.1} \frac{1}{2},\;\cos x,\; \sin x,\; \ldots,\;\cos nx,\;\sin nx,\;\ldots \end{equation} ortogonal sisteminde çalışacağız.

İspat: Eğer her bir $n\geq1$ için $|a_n\sin nx+b_n\cos nx|\leq M_n$ ve $\sum_{n=1}^{\infty}M_n<\infty$ olacak şekilde $M_n$ sayıları bulabilirsek, Weierstrass-M testi gereği $$\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$ serisinin düzgün yakınsaklığını elde etmiş oluruz.

Şimdi, keyfi $r$ ve $s$ reel sayıları için $0\leq(r-s)^2=r^2-2rs+s^2$ olduğundan hareketle \begin{equation} \label{eq:ortogonal-4} \tag{5.3.2} 2rs\leq r^2+s^2 \end{equation} ve buradan da $$(r+s)^2=r^2+2rs+s^2\leq2(r^2+s^2)$$ eşitsizliklerini gözlemleyelim. Bu son eşitsizlik gereği $$(a_n\cos nx+b_n\sin nx)^2\leq2(a_n^2\cos^2nx+b_n^2\sin^2nx)\leq2(a_n^2+b_n^2)$$ olduğu görülür. Ayrıca bu son eşitsizlik ve \eqref{eq:ortogonal-4} eşitsizliği gereği $n\geq1$ için $$|a_n\cos nx+b_n\sin nx|\leq\sqrt{2(a_n^2+b_n^2)}<\frac{2}{n}\sqrt{n^2(a_n^2+b_n^2)}\leq\frac{1}{n^2}+n^2(a_n^2+b_n^2)$$ eşitsizliği elde edilir. $M_n$ sayılarını yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafındaki ifade olarak tanımlayalım, $\sum\frac{1}{n^2}$ serisi yakınsak olduğundan $$\sum_{n=1}^{\infty}n^2(a_n^2+b_n^2)$$ serisinin yakınsak olduğunu göstermek yeterlidir.

Şimdi, $n\geq1$ için $f'$ fonksiyonunun $(-\pi,\pi)$ aralığında Fourier katsayıları $nb_n$ ve $-na_n$ olur, gerçekten kısmi integrasyonla \begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\cos nx\,dx &=& \frac{1}{\pi}\left[f(x)\cos nx\bigg\vert_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}nf(x)\sin nx\,dx\right]\\ &=& \frac{1}{\pi}\left[f(\pi)\cos n\pi-f(-\pi)\cos(-n\pi)+\int_{-\pi}^{\pi}nf(x)\sin nx\,dx\right]\\ &=& \frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx\\ &=& nb_n \end{eqnarray*} ve benzer şekilde $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\sin nx\,dx=-na_n$$ olduğu görülür. Bu durumda, \eqref{eq:ortogonal-4} trigonometrik ortogonal sisteminin normu $\sqrt{\pi}$ olduğundan, $f'$ fonksiyonu için Bessel eşitsizliği kullanılırsa $$\sum_{n=1}^{\infty}n^2(a_n^2+b_n^2)\leq\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f')^2$$ elde edilir ki bu da eşitliğin solundaki serinin yakınsak olduğunu gösterir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$