1.3. Sınır Değer Problemleri

Bir önceki bölümün sonunda elde ettiğimiz iki denklem örneğinde olduğu gibi, çok değişkenli bir fonksiyon ve onun bazı kısmi türevlerini içeren bir eşitliğe bir kısmi diferensiyel denklem denir. Böye bir denklemi sağlayan fonksiyonlara da bu denklemin birer çözümü denir. Isı denklemini ele alacak olursak, $u\equiv0$ aşikar çözümü dışında \begin{eqnarray*} u_1(x,t) &=& x,\\ u_2(x,t) &=& x^3+6kxt,\\ u_3(x,t) &=& e^{-kt}\cos x,\\ u_4(x,t) &=& \frac{1}{\sqrt{t}}e^{-x^2/4kt} \end{eqnarray*} fonksiyonlarının da birer çözüm olduğunu görmek kolaydır. Ayrıca bunların (aslında herhangi bazı çözümlerin) lineer kombinasyonlarının da bir çözüm olduğu kolaylıkla gösterilebilir. O zaman bu sonsuz sayıdaki çözümlerden hangisi çubuktaki ısı dağılımını göstermektedir? Bu soruya cevap verebilmek için problemi daha iyi tanımlamamız gerekir. Herhangi bir zamanda çubuğun herhangi bir noktasındaki sıcaklığı bir çok koşuldan etkilenir. Örneğin başlangıçta ($t=0$'da) çubuğun sıcaklığı, herhangi bir zamandaki sıcaklığı etkileyecektir. Ek olarak, çubuğun dış yüzeyinden ısı akışı olmasa da kenarlarından (uç noktalarından) ısı girişi veya çıkışı olabilir. Kısacası çubuktaki ısı dağılımı hem başlangıç hem de sınır koşullarından etkilenir. Bu ek koşullar çeşitli biçimlerde belirtilebilir, örneğin $t=0$ zamanındaki başlangıç sıcaklığı $$u(x,0)=f(x)$$ şeklinde $x$'in bir fonksiyonu olarak belirtilebilir. Benzer şekilde sınır koşulları da $u(0,t)$ ve $u(a,t)$ biçiminde belirtilebilir. Bir kısmi diferensiyel denklemin belirli başlangıç ve sınır koşullarını sağlayan bir çözümünü bulma problemine bir sınır değer problemi denir.

Sırada vereceğimiz tanımları ileride sıklıkla kullanacağız. Çubuk $x=0$ ve $x=a$ noktaları arasında yerleşmiş olsun ve $\mathbb{R}^2$ Öklid uzayında $$D:=\{(x,t)\in\mathbb{R}^2:\;\, 0\lt x\lt a, \,\, t>0 \}$$ ve $$\overline{D}:=\{(x,t)\in\mathbb{R}^2:\;\, 0\leq x\leq a, \,\, t\geq0 \}$$ kümelerini tanımlayalım (ikincisinde D harfi üzerinde çizgi var, D-bar). $D$ kümesinde tanımlı olan ve bu kümede sürekli ikinci mertebeden kısmi türevleri var olan bir $f$ fonksiyonuna $D$ kümesinde $C^2$ sınıfındandır denir ve bu durum $f\in C^2(D)$ ile gösterilir.

Verdiğimiz örnekler dikkatlice incelenirse bir problemin başlangıç ve sınır koşullarının kritik öneme sahip olduğu anlaşılır. Örneğin daha sonra göreceğiz ki, $n\in\mathbb{N}$ olmak üzere $$u(x,t)=e^{-n^2\pi^2kt/a^2}\sin\frac{n\pi}{a}x$$ fonksiyonları da Örnek 1.3.1 ile verilen sınır değer probleminin birer çözümüdür. Yani verilen başlangıç ve sınır koşulları çözümü tek türlü belirlemek için yeterli olmayabilir. Söz konusu örnekte herhangi bir başlangıç koşulu belirtilmemiştir, eğer $t=0$'daki sıcaklık $$u(x,0)=\sin\frac{\pi}{a}x$$ başlangıç koşulu ile belirtilseydi örnekte belirtilen fonksiyonun bu problemin tek çözümü olduğu gösterilebilirdi. Diğer yandan Örnek 1.3.2 ile verilen probleme bakacak olursak $x=a$ için yani sağ sınır nokta için bir sınır koşulu belirtilmemiştir. Eğer $$x\rightarrow a\;\;\text{ için }\;\;u(x,t)\rightarrow0$$ koşulu verilseydi örnekte verilen fonksiyon bu koşulu sağlamaz dolayısıyla bir çözüm olmazdı.

İyi tanımlanmış bir problemden çözümün varlığı ve tekliği dışında bir beklentimiz daha var; kararlılık. Bir problemin başlangıç ve sınır değerlerini fiziksel ölçüm ve gözlemlerle belirlediğimiz için her zaman küçük bir hata payı ile çalışırız. Dolayısıyla elde ettiğimiz çözüm de bir hata payı ile hesaplanmış olacaktır. Şu halde bir problemin çözümünün başlangıç ve sınır değerlerindeki küçük değişikliklerden küçük oranlarda etkilenmesini isteriz, bu özelliğe sahip çözümlere kararlı çözüm denir. Örneğin Örnek 1.3.3 ile verdiğimiz problemin çözümü kararlı değildir, çünkü sınır değer koşulundaki $c$ sayısındaki küçük bir değişiklik bu koşulda çok küçük bir değişime sebep olmasına rağmen çözümde çok büyük bir değişime sebep olur ($0\lt t\lt 1$ için).

Sonuç olarak bir sınır değer problemini çözmek için aşağıdakilerin sağlandığını görmemiz gerekir

1. Bir çözüm vardır,
2. Çözüm tektir,
3. Çözüm kararlıdır.

Bu koşulları sağlayan bir probleme Hadamard anlamında iyi tanımlanmış (well posed) bir problem denir. Kararlılık özelliğinin önemini vurgulayan ilk kişi Ecole Polytechnique'den Jacques Hadamard (1865-1963) dır.