1.4. Değişkenlere Ayırma Yöntemi

Şimdi ısı denklemini içeren bir sınır değer problemi için bir çözüm arayacağız. $f$ fonksiyonu sürekli olmak üzere $$\begin{array}{ll} u_t=ku_{xx} & \qquad (x,t)\in D\\ u(0,t)=0 & \qquad t\geq0\\ u(a,t)=0 & \qquad t\geq0\\ u(x,0)=f(x) & \qquad 0\leq x\leq a \end{array}$$ eşitliklerini sağlayan ve $D$ kümesinde $C^2$ sınıfından olan bir $u:\overline{D}\rightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonu bulacağız.

Bu fonksiyonu $$u(x,t)=X(x)T(t)$$ biçiminde arayacağız, burada $X$ ve $T$ fonksiyonları sırasıyla $x$ ve $t$ değişkenlerinin bilinmeyen fonksiyonlarıdır. Yöntemin ismi bu varsayımdan gelmektedir, aslında çözümün bu yapıya sahip olmasını varsaymak için hiçbir sebep yoktur, Fourier böyle bir çözüm ararken d'Alembert'in başka bir problemde kullandığı bir yöntemden ilham almıştır.

Böyle bir çözüm mevcutsa her $(x,t)\in D$ için $$XT'=u_t=ku_{xx}=kX''T$$ eşitlikleri sağlanır. İlaveten $0\lt x\lt a$ için $X(x)\neq0$ ve $t>0$ için $T(t)\neq0$ varsayarsak $$\frac{T'}{T}=\frac{kX''}{X}$$ eşitliğinin sağlandığını görürüz. Bu son eşitliğin sol tarafı sadece $t$ değişkenine bağlı, sağ tarafı da sadece $x$ değişkenine bağlıdır. $x$'in bir fonksiyonunun $t$'nin bir fonksiyonuna eşit olabilmesinin tek yolu bunların sabit olmasıdır. Bu sabiti $-\lambda$ ile gösterelim, böylece $$T'+\lambda T=0\qquad\text{ve}\qquad kX''+\lambda X=0$$ eşitlikleri elde edilir. Sonuç olarak iki değişkenli bir kısmi diferensiyel denklemi iki tane adi diferensiyel denkleme indirgemiş olduk.

İlk denklemin genel çözümü $$T(t)=Ce^{-\lambda t}$$ şeklindedir, burada $C$ keyfi bir sabittir. $T$ fonksiyonu başta varsaydığımız gibi hiç sıfır olmaz.

İkinci denklemin çözümü $\lambda$ sayısının işaretine göre değişir, şimdi bu durumları ayrı ayrı inceleyelim.

1. $\lambda<0$ durumu: Bu durumda denklemi $k$ ile bölüp $\mu:=\lambda/k$ tanımını yaparsak denklemin genel çözümü, $A$ ve $B$ keyfi sabitler olmak üzere $$X(x)=Ae^{\sqrt{-\mu}x}+Be^{-\sqrt{-\mu}x}$$ biçiminde olur. Bu çözümde sınır koşulları olan $u(0,t)=0$ ve $u(a,t)=0$ eşitliklerini göz önünde bulundurursak $$A+B=0\quad\text{ve}\quad Ae^{\sqrt{-\mu}a}+Ae^{-\sqrt{-\mu}a}=0$$ eşitlikleri elde edilir ki bunların sağlanmasının tek yolu $$A=B=0$$ olmasıdır. Bu ise $X(x)=0$ ve dolayısıyla $$u(x,t)=X(x)T(t)=0$$ olmasını gerektirir, yani bu durumda çözüm olarak aşikar çözüme ulaşmış oluruz.
2. $\lambda=0$ durumu: Bu durumda denklem $X''=0$ halini alır ve genel çözümü, $A$ ve $B$ keyfi sabitler olmak üzere $X(x)=A+Bx$ biçimindedir. Sınır koşulları değerlendirilirse yine $A=B=0$ olduğu görülür, yani bu durumda da aşikar çözüme ulaşılır.
3. $\lambda>0$ durumu: Bu durumda genel çözüm $$X(x)=A\sin\sqrt{\mu}x+B\cos\sqrt{\mu}x$$ biçimindedir. İlk sınır koşulu olan $u(0,t)=0$ eşitliğinin kullanırsak $B=0$ olduğunu görürüz. Diğer sınır koşulu olan $u(a,t)=0$ eşitliğini de göz önünde bulundurursak $$A\sin\sqrt{\mu}a=0$$ eşitliğine varılır, bunun da sağlanması için, $n\in\mathbb{N}$ keyfi olmak üzere $\sqrt{\mu}\,a=n\pi$ biçiminde olması gerekir. Böylece $n\in\mathbb{N}$ ve $A_n$ sayıları keyfi sabitler olmak üzere $$X(x)=A_n\sin\frac{n\pi}{a}x$$ biçiminde sonsuz sayıda çözümün varlığı elde edilir.

Bu üç durumda dikkat edilirse sadece $\lambda>0$ için aşikar çözüm dışında çözüm bulabildik, ayrıca bu çözümlerin de $\lambda$'nın sadece $$\lambda=\mu k=\frac{n^2\pi^2}{a^2}k$$ biçimindeki değerleri için var olduğunu gördük. Sonuç olarak bu yöntemle ısı denkleminin aşikar olmayan $$u_n(x,t)=c_ne^{-n^2\pi^2kt/a^2}\sin\frac{n\pi}{a}x$$ biçiminde keyfi çoklukta çözümünü bulmuş olduk, burada $c_n:=CA_n$ sayıları keyfi sabitlerdir. Başta farzettiğimizin aksine bu çözümün sıfırları mevcuttur ama bu bizim için bir sorun teşkil etmez, çünkü sonuçta verilen ısı denklemini ve sınır koşullarını sağlayan ve $D$ kümesinde $C^2$ sınıfından bir fonksiyon bulabildik. İlaveten verilen başlangıç koşulunu sağlayan bir fonksiyonu bulmak bizi Fourier serisi kavramına götürecek temel problemdir, bunu inceleyebilmek için sıradaki bölümde vereceğimiz temel bilgilere ihtiyacımız var.