1.5. Lineerlik ve Süperpozisyon

Isı denkleminin bir önceki bölümde elde ettiğimiz çözümünde $t=0$ yazarsak $$u_n(x,0)=c_n\sin\frac{n\pi}{a}x$$ olduğunu görürüz. Bu durumda görünüşe göre bulduğumuz fonksiyon, başlangıç koşulundaki $f$ fonksiyonu keyfi bir $A$ sabiti için $$f(x)=A\sin\frac{n\pi}{a}x$$ biçiminde değilse ele aldığımız sınır değer probleminin bir çözümü olamaz. O halde kullandığımız değişkenlere ayırma metodunun bu problemde başarısız mı olmuştur? Bunu söyleyemeyiz, çünkü ısı denklemi lineer bir denklemdir ve lineer denklemlerin çözümlerinin lineer kombinasyonları da bir çözümdür. Şimdi bu kavramları açıklayalım.

Bir kısmi diferensiyel denklem için

1. eğer $u$ ve $v$ fonksiyonları birer çözüm ise, $u+v$ fonksiyonu da bir çözümdür,
2. eğer $u$ fonksiyonu bir çözüm ve $r\in\mathbb{R}$ keyfi bir sabit ise $ru$ fonksiyonu da bir çözümdür

koşulları sağlanıyorsa bu denkleme bir lineer denklem denir. Ayrıca benzer şekilde bir sınır koşulunu sağlayan çözümlerin toplamları veya çarpımları da bu koşulu sağlıyorsa söz konusu koşula da lineer bir sınır koşulu denir.

Lineer denklemlerin aşağıdaki özelliği sağladığı açıktır. Süperpozisyon İlkesi: Eğer $u_1, u_2, \ldots, u_N$ fonksiyonları lineer bir kısmi diferensiyel denklemin çözümleri ise ve $c_1, c_2, \ldots, c_N$ keyfi sabitler ise bu durumda $$c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_Nu_N$$ fonksiyonu da aynı denklemin bir çözümüdür.

Şimdi ele aldığımız probleme dönersek, başlangıç koşulunu sağlayan bir çözümün $$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{N}c_n\sin\frac{n\pi}{a}x$$ eşitliğinin sağlanması gerekir. Acaba herhangi bir $f$ fonksiyonu için bu eşitlik sağlanacak şekilde bir $N\in\mathbb{N}$ ve $c_1,c_2,\ldots,c_n$ sayıları bulunabilir mi? Genelde hayır, sadece çok özel seçilen fonksiyonlar için bu eşitlik sağlatılabilir.

Fourier bu durumda sonsuz serileri kullandı ve herhangi bir fonksiyon için $$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n\sin\frac{n\pi}{a}x$$ eşitliği sağlanacak şekilde $c_n$ sayılarının bulunabileceğini iddia etti. Benzer bir iddia daha önce Daniel Bernoulli tarafından da dile getirilmişti, fakat Bernoulli bunu temellendirecek yeterli açıklama yapmamış ve dönemin bilim otoriteleri tarafından ciddi eleştirilere maruz kalmıştır, sonuç olarak çalışması yayınlanmamıştır. Gerçekten, mesela $f(x):=e^x$ gibi bir fonksiyonu nasıl olur da sinüs fonksiyonlarının bir toplamıne eşit olabilirdi? Sinüslerin toplamı periyodikken ve tek fonksiyon iken, $f$ fonksiyonu böyle değildir. Fakat Fourier bu iddiayı tüm reel eksende değil sınırlı bir aralık üzerinde dile getirmişti. Farklı özelliklerdeki iki fonksiyon tüm reel eksende çok farklı olsa da çakıştıkları sınırlı bir aralık var olabilir. Fourier bu iddiasını çok sayıda örnekle pekiştirmiştir.