2.1. Giriş

Fourier çalışmasında verdiği örneklerle komiteyi ikna edip ödülü kazansa da iddialarının hiç birinin kanıtını vermemiştir. Ömrü boyunca da keyfi bir fonksiyonun trigonometrik fonksiyonların sonsuz bir toplamı olarak gösterilebileceğini kanıtlayamamıştır. Aslında o dönemde seriler için çalışılabilir bir yakınsaklık tanımı da yoktu, yakınsaklık tamamen sezgisel olarak kullanılıyordu. Fourier çalışmasında yakınsaklık kavramını "serinin toplamının limit değeri ile farkı, verilecek her büyüklükten daha küçük kalmalıdır" biçiminde tarif etmiştir. Bu tarif, günümüzde kullandığımız ve 1821 yılında Augustin Louis Cauchy tarafından verilen modern yakınsaklık kavramına en yakın tariftir. Cauchy'nin katkısı bu tanımı vermesinden çok, ilgili kitabında tanımdan hemen sonraki sayfadan itibaren verdiği yakınsaklık kriterlerine dayanır, bunlar bugünkü isimleriyle Cauchy yakınsaklık kriteri ile oran ve kök testleridir. Cauchy bu teoremlerle kendisinden sonra bu konuda yayınlar yapacak olan Raabe, Abel, Weierstrass ve Dirichlet gibi matematikçilere yol açıp yakınsak seriler teorisinin kurulmasını sağlamıştır.

Trigonometrik serilerin yakınsaklığının ispatı için ilk girişimler Fourier'in dışında Poisson ve Cauchy tarafından yapılmış fakat bir sonuç alınamamıştır. Ama Fourier'in önerdiği bir yöntem başka bir genç araştırmacı olan Gustav Lejeneue Dirichlet tarafından geliştirilmiş ve 1829 yılında kanıt elde edilebilmiştir. Bu bölümde trigonometrik serilerin yakınsaklığı için gerekli koşulları elde edip bazı sonuçlar elde edeceğiz.