1.2. Isı İletim Denklemi

İletken bir materyalden yapılmış ince bir çubuğun $x$ ekseni boyunca yerleşmiş olduğunu düşünün. Problem, herhangi bir $t$ zamanında çubuğun herhangi bir $x$ konumundaki sıcaklığı veren bir $u(x,t)$ fonksiyonu bulmaktır. Aşağıdaki koşullar altında çalışacağız:

1. Çubuğun dış yüzeyi ortamdan izole haldedir, yani çubuk ile dış ortam arasında çubuğun dış yüzeyi boyunca ısı iletimi mümkün değildir,
2. Çubuk, $A$ alanlı ve sabit $\rho$ yoğunluklu düzgün bir kesite sahiptir,
3. Herhangi bir $t$ zamanında verilen bir $x$ apsisli her noktada çubuğun sıcaklığı aynıdır,
4. Sıcaklık öyle düzgün yayılmaktadır ki $u$ fonksiyonu her iki değişkenine göre de sürekli ikinci mertebe kısmi türevlere sahiptir.

Hedefimiz olan $u(x,t)$ fonksiyonunu elde etmek amacıyla çubuğun $x$ ile $x+h$ apsisleri arasındaki küçük bir diliminde enerjinin korunumu yasasını uygulayacağız (aşağıdaki şekle bakın).

Eğer materyalin öz ısı katsayısı $c$ ise (maddenin birim kütlesinin sıcaklığını bir derece yükseltmek için gereken ısı miktarına o maddenin öz ısı katsayısı denir) ve herhangi bir $t$ zamanında çubuğun $x$ apsisi boyunca her noktasında sıcaklığı $u(t)$ ise bu durumda $\rho$ yoğunluklu ve $Ah$ hacimli dilimdeki toplam ısı $$Q(t)=(\text{öz ısı katsayısı})\times(\text{kütle})\times(\text{sıcaklık değişimi})=cm\Delta T=c\rho Ahu(t)$$ eşitliği ile verilir, burada mutlak sıfır decede ısı olmadığını kabul ettik.

Şimdi bir $P:=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ parçalanmasıyla bu dilimi $n$ tane alt dilime bölelim. Bu durumda her dilimin kütlesi $m_n:=\rho A(x_{n+1}-x_n)$ olur. Her $x$ sayısı için $x$ apsisli noktalardaki toplam ısı $u(x,t)$ olduğundan $P$ parçalanmasının normu sınırsızca küçülürse limit durumunda çubuğun toplam ısısı $$Q(t)=\sum c\rho A u(x,t)(x_{n+1}-x_n)$$ olur. Bu da $c\rho A u(x,t)$ fonksiyonunun bir Riemann toplamı olup $u$ fonksiyonu sürekli dolayısıyla integrallenebilir olduğundan, çubuğun toplam ısısı $$Q(t)=\int_{x}^{x+h}c\rho Au(s,t)ds$$ olur. Ayrıca $u_t$ ile $u$ fonksiyonunun zaman değişkenine göre türevini gösterecek olursak, toplam ısının zamanla değişim hızı da $$Q'(t)=\int_{x}^{x+h}c\rho Au_t(s,t)ds$$ olarak elde edilir.

Şimdi bu dilime enerjinin korunumu yasasını uygulayacağız. Çubuk ortamdan izole olduğundan bu dilime ısı ya $x$ ile $x+h$ apsisli kenarlardan girer, ya da içinde üretilir (örneğin çubuktan geçen elektrik akımına direnç sebebiyle). Eğer çubuk içinde birim hacimde sabit bir $q$ hızıyla ısı üretiliyorsa dilimin tamamında üretim hızı $qAh$ olur. Fourier kendi çalışmasında yan kenarlardan gelen ısıyı ele alırken her dik kesitten birim alanda geçen ısının değişim hızının, sıcaklık gradiyenti ile (yani sıcaklığın $x$ değişkenine göre türevi ile) orantılı olduğunu kabul etmiştir. Bu durumda kenarlardan akan ısı oranı $$-\kappa Au_x(x,t)\quad\text{ve}\quad -\kappa Au_x(x+h,t)$$ olur. Buradaki $\kappa$ sabitine termal iletkenlik katsayısı denir ve pozitif kabul edilir, dolayısıyla negatif işaret sıcaklığa göre ters yönde ısı akımını gösterir (sıcaktan soğuğa), buna bugün Fourier yasası diyoruz. Şimdi enerjinin korunumu yasasına göre bu dilimin toplam ısısı ile içinde ürettiği ve kenarlardan kazandığını (veya kaybettiği) ısının toplamı eşit olmalıdır, dolayısıyla türevler de eşit olacağından $$\int_{x}^{x+h}c\rho Au_t(s,t)ds=qAh-\kappa Au_x(x,t)+\kappa Au_x(x+h,t)$$ eşitliği sağlanır, burada dilimin sağ kenardan ısı kazandığı ve sol kenardan da ısı kaybettiğini varsaydık. Bu eşitliği $Ah$ ile bölüp $h\rightarrow0$ için limit alınırsa $$\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}c\rho u_t(s,t)ds=q+\kappa\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{u_x(x+h,t)-u_x(x,t)}{h}=q+\kappa u_{xx}(x,t)$$ eşitliği elde edilir. Diğer yandan türevin tanımı ve kalkülüsün temel teoremi kullanılırsa \begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\int_{x}^{x+h}c\rho u_t(s,t)ds}{h} &=& \lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\int_{0}^{x+h}c\rho u_t(s,t)ds-\int_{0}^{x}c\rho u_t(s,t)ds}{h}\\ &=& \frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x}c\rho u_t(s,t)ds\right)\\ &=& c\rho u_t(x,t) \end{eqnarray*} olduğu görülür. Böylece $$c\rho u_t(x,t)=q+\kappa u_{xx}(x,t)$$ eşitliğine varılır. Eğer üretilen bir iç ısı yoksa ve $$k:=\frac{\kappa}{c\rho}$$ sabitini tanımlarsak $$u_t(x,t)=ku_{xx}(x,t)$$ denklemi elde edilir, bu denkleme literatürde ısı denklemi veya difüzyon denklemi denir.

Bu denklemin bir çözümünü bulmak için Fourier'in kullandığı yöntemi incelemeden önce bu tip denklemler için bazı genel bilgiler verelim, bir sonraki ders notunda bunlara değineceğiz.