2.3. Riemann-Lebesgue Teoremi

Bir fonksiyonun Fourier katsayıları belirli integrallerle belirlendiğine göre integral kavramının iyi anlaşılması gerekir. Daha önce bahsettiğimiz gibi Fourier kendi çalışmasında integralleri birer alan olarak kullanmıştır. Günümüzde kullandığımız modern integral tanımına en yakın tanım ilk olarak 1823 yılında Cauchy tarafından verilmiştir. $f$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında tanımlı ve sürekli olsun, ayrıca $P:=\{a=x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n=b\}$ de bu aralığın herhangi bi parçalanması olsun. Bu durumda $f$ fonksiyonunun bu aralıktaki belirli integralini Cauchy $$\int_{a}^{b}f:=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i-1})(x_{i}-x_{i-1})$$ olarak tanımlamıştır. Cauchy sadece sürekli fonksiyonlar için bu limitin varlığını ve parçalanmadan bağımsızlığını kanıtlayabilmiştir. Bu tanımda $f$ sürekli kabul edilse de sonlu sayıda sıçramalı süreksizlik noktasına sahip süreksiz fonksiyonlar da kapsanmıştır, çünkü bu süreksizlik noktaları parçalanmanın noktaları olarak seçilirse her alt aralıkta fonksiyon sürekli olur. Sonsuz sayıda süreksizlik noktaları bulunan fonksiyonların Fourier katsayısını hesaplamak için böyle fonksiyonlar için buna benzer bir limitin varlığı gösterilmeliydi, Dirichlet çok uğraşsa da bunu başaramadı. Fakat 1847-1849 yılları arasında Dirichelt'in bir öğrencisi olan ve bu konuda araştırmaya yönlendirdiği çok yetenekli bir genç bu problemin çözümünde çok önemli bir rol oynayacaktır: Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Doktorasını 1851 yılında tamamlayan Riemann 1853 yılındaki bir çalışmasında sürekli olmak zorunda olmayan bir $f$ fonksiyonunun $[a,b]$ aralığındaki belirli integralini, $t_i\in(x_{i-1},x_i)$ keyfi seçilmek ve $n\rightarrow\infty$ için $$\|P\|:=\max\{|x_i-x_{i-1}|:\;i=0,1,\ldots,n\}\rightarrow0$$ olmak üzere $$\int_{a}^{b}f:=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}f(t_i)(x_{i}-x_{i-1})$$ olarak tanımlamıştır. Daha sonra 1875 yılında Jean Gaston Darboux (1842-1917), bir $f$ fonksiyonunun bir $(a,b)$ aralığında Riemann anlamında integrallanabilmesi için gerek ve yeter koşulun $$\sum\limits_{i=1}^{n}m_i(x_{i}-x_{i-1})-\sum\limits_{i=1}^{n}M_i(x_{i}-x_{i-1})$$ farkının verileceh her sayıdan küçük bırakılacak şekilde bir parçalanmanın var olması olduğunu kanıtladı, buradaki $m_i$ ve $M_i$ sayıları $f$ fonksiyonunun ilgili alt aralıktaki sırasıyla infimum ve supremum değerleridir. Bu toplamlara günümüzde $f$ fonksiyonunun $P$ parçalanması üzerinden alt ve üst toplamları diyoruz, integral değerinin de bu toplamlar arasında olduğunu biliyoruz. Bu tanımlar ve kriterler kullanılarak sınırlı olan sürekli, monoton veya parçalı sürekli fonksiyonların Riemann anlamında integrallenebilir olduğu kolaylıkla kanıtlanmıştır. Sonsuz sayıda süreksizlik noktası olan fonksiyonların integrallenebilirliği konusunda ise son noktayı Lebesgue koymuştur: bir $f$ fonksiyonunun bir aralıkta Riemann anlamında integrallenebilir olması için gerek ve yeter koşul onun bu aralıktaki süreksizlik noktalarının kümesinin ölçüsü sıfır olmasıdır. Burada, bir reel sayı kümesinin ölçüsünün sıfır olması demek onun, uzunlukları toplamı keyfi küçüklükte olan açık aralıkların birleşimi tarafından kapsanması demektir.

Riemann'ın çalışmasında integralin tanımı dışında önemli bir uygulaması daha vardı, bu sonuç bize Fourier katsayılarının $n\rightarrow\infty$ için sıfıra yaklaştığını söyler. Aynı sonucu 1903 yılında Lebesgue kendi tanımladığı integral kavramı için de kanıtlamış ve böylece bu teorem Riemann-Lebesgue teoremi adını almıştır.

İspat: $f$ fonksiyonunun $(x_{i-1},x_i)$ aralığındaki infimumu $m_i$ olmak üzere $$ g(x):=\left\{\begin{array}{ll} f(x),\quad & i=1,2,\ldots,n\text{ için } x=x_i\text{ ise}\\ m_i,\quad & i=1,2,\ldots,n\text{ için }x\in(x_{i-1},x_i)\text{ ise} \end{array} \right. $$ olarak tanımlanan $g:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonunu ele alalım. Bu aralıkta $g\leq f$ olduğu açıktır, ayrıca \begin{eqnarray*} \left|\int_{a}^{b}f(x)\sin rx\,dx-\int_{a}^{b}g(x)\sin rx\,dx\right| &\leq& \int_{a}^{b}\left|f(x)\sin rx-g(x)\sin rx\right|\,dx\\ &\leq& \int_{a}^{b}\left[f(x)-g(x)\right]\,dx\\ &=& \int_{a}^{b}f(x)\,dx-\sum\limits_{i=1}^{n}m_i(x_i-x_{i-1}) \end{eqnarray*} eşitsizliği sağlanır. Darboux'un teoremine göre bir $\epsilon>0$ sayısı verildiğinde $$\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\sum\limits_{i=1}^{n}m_i(x_i-x_{i-1})<\frac{\epsilon}{2}$$ olacak şekilde bir parçalanma bulunabilir. Bu durumda, her $A,B\in\mathbb{R}$ için geçerli olan $|A|\leq|B|+|A-B|$ eşitsizliğini kullanırsak $$\left|\int_{a}^{b}f(x)\sin rx\,dx\right|<\left|\int_{a}^{b}g(x)\sin rx\,dx\right|+\frac{\epsilon}{2}$$ olduğunu görürüz. Diğer yandan $r>0$ için \begin{eqnarray*} \left|\int_{a}^{b}g(x)\sin rx\,dx\right| &=& \left|\sum\limits_{i=1}^{n}\int_{x_{i-1}}^{x_i}m_i\sin rx\,dx\right|\\ &=& \left|\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{m_i}{r}\left(\cos rx_{i-1}-\cos rx_i\right)\right|\\ &\leq& \frac{2}{r}\sum\limits_{i=1}^{n}|m_i| \end{eqnarray*} olur ve yeterince büyük $r$ sayıları için bu son değer $\epsilon/2$ sayısından küçük kalır. Sonuç olarak $$\left|\int_{a}^{b}f(x)\sin rx\,dx\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ eşitsizliğinin sağlandığı görülür ve böylece teoremin ifadesindeki ilk limit kanıtlanmış olur. Diğer limit de benzer şekilde kanıtlanır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$