4.2. Özdeğerler ve Özfonksiyonlar

Şimdi daha önce Bölüm 3.9'da ortaya koyduğumuz dokuz sorudan birkaçına cevap arayacağız. Bu araştırmada aşağıdaki lemma sıklıkla bize kolaylık sağlayacak.

İspat: Eğer $p(a)>0$ ise (4.1.2) eşitliği gereği $$\begin{array}{l} a_1X_1(a)-b_1X_1'(a)=0\\ a_1X_2(a)-b_1X_2'(a)=0 \end{array}$$ denklem sistemi elde edilir. Bu durumda $$\begin{array}{l} a_1X_1(a)=b_1X_1'(a)\\ a_1X_2(a)=b_1X_2'(a) \end{array}$$ olduğundan bu sistemin $a_1$ ve $b_1$ için çözümünün olması için ikinci satırın birincinin sabit katı olması gerekir. Bu da (i) şıkkını kanıtlar, diğer şık da aynı şekilde kanıtlanır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Aşağıdaki teorem 1823 yılında Poisson tarafından keşfedilmiştir ve Bölüm 3.9'da verdiğimiz (v) sorusuna cevap verir.

İspat: $$\begin{array}{l} (pX_1')'+(\lambda_1r-q)X_1=0\\ (pX_2')'+(\lambda_2r-q)X_2=0 \end{array}$$ eşitlikleri sırasıyla $X_2$ ve $X_1$ ile çarpılıp taraf tarafa çıkartılırsa $$(\lambda_1-\lambda2)rX_1X_2=X_1(pX_2')'-X_2(pX_1')'=\left[p(X_1X_2'-X_1X_2')\right]'$$ eşitliğine varılır (son eşitlik kolaylıkla doğrulanailir). Buradaki tüm fonksiyonlar integrallenebilir olduğundan $$(\lambda_1-\lambda_2)\int_{a}^{b}rX_1X_2=p(b)\left[X_1(b)X_2'(b)-X_2(b)X_1'(b)\right]- p(a)\left[X_1(a)X_2'(a)-X_2(a)X_1'(a)\right]$$ eşitliği sağlanır. Lemma 4.2.1 gereği bu eşitliğin sağ tarafı sıfır olacaktır, böylece $\lambda_1\neq\lambda_2$ olduğundan istenen elde edilmiş olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Yani yukarıda Teorem 4.2.1 ile Sturm-Liouville probleminin farklı özdeğerlerine karşılık gelen özfonksiyonların $r$ ağırlık fonksiyonuna göre $(a,b)$ aralığında ortogonal olduğu kanıtlandı. Sıradaki teorem ile de en az bir sınır koşulu verilmişse her özdeğere karşılık tek bir özfonksiyonun karşılık geldiğini (sabitle çarpım hariç) kanıtlayacağız.

Ama buna geçmeden önce not etmemiz gereken önemli bir nokta var. Sturm-Lioville probleminin $\lambda$ ve bunun eşleniği olan $\overline{\lambda}$ özdeğerlerini ele alırsak, ki bunlara karşılık gelen özfonksiyonların $X$ ve $\overline{X}$ olacağı Sturm-Liouville denklemi ve kompleks sayıların eşlenik özellikleri kullanılarak kolayca gösterilebilir, yukarıdaki ispatta olduğu gibi $$(\lambda-\overline{\lambda})\int_{a}^{b}rX\overline{X}=(\lambda-\overline{\lambda})\int_{a}^{b}r|X|^2=0$$ eşitliğine ulaşırız. Yani bunun sonucu olarak Sturm-Liouville probleminin bir özfonksiyonu varsa buna karşılık gelen özdeğer bir reel sayı olmalıdır, bu da daha önce ortaya koyduğumuz sorulardan birine cevap verir (soru ii).

İspat: $p(a)>0$ ve $C$ sabiti Lemma 4.2.1-(i) ile verilen sabit olsun, bu durumda $$\phi:=X_2-CX_1$$ fonksiyonu da, çözümlerin bir lineer kombinasyonu olduğundan, bir çözümdür. Ayrıca bu çözüm (4.1.2) gereği $$\phi(a)=\phi'(a)=0$$ başlangıç koşullarını sağlar. Fakat diferensiyel denklemler teorisinden biliyoruz ki bu (4.1.1) denkleminin $x=a$ noktasında hem kendisi hem de türevi sıfır olan tek çözümü $\phi\equiv0$ fonksiyonudur (çözümün tekliği gereği). Eğer $p(b)>0$ ise de kanıt benzerdir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Yukarıdaki teorem $p(a)=p(b)=0$ ise yani her iki sınır koşulu da verilmemişse geçerli değildir. Ayrıca $q$ üzerinde bazı ek koşullarla özdeğerlerin pozitif olduklarını kanıtlayabiliriz.

İspat: $\lambda$ özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon $X$ olsun. (4.1.1) denklemini $X$ ile çarpıp düzenlersek $$\lambda rX^2=qX^2-(pX')'X$$ elde edilir ve integrasyonla \begin{equation} \label{eq:slp-2} \tag{4.2.1} \lambda\int_{a}^{b}rX^2=\int_{a}^{b}qX^2-\int_{a}^{b}(pX')'X=\int_{a}^{b}qX^2-pX'X\bigg\vert_a^b+\int_{a}^{b}p(X')^2 \end{equation} eşitliğine varılır. Şimdi $$-pX'X\bigg\vert_a^b=p(a)X'(a)X(a)-p(b)X'(b)X(b)$$ teriminin negatif olmayacağını gösterelim. (4.1.2) gereği $b_1>0$ ise $$X'(a)=\frac{a_1}{b_1}X(a)$$ olur. Eğer $p(a)=0$ ise $b_1=0$ olsa bile $p(a)X'(a)X(a)=0$ olduğu da açıktır. Sonuç olarak (i) hipotezi gereği her durumda $p(a)X'(a)X(a)\geq0$ eşitsizliği sağlanır. Benzer şekilde $p(b)X'(b)X(b)\leq 0$ olduğu da gözterilebilir. Böylece $(a,b)$ aralığında $p,r>0$ ve $q\geq 0$ olduğundan \eqref{eq:slp-2} gereği $\lambda\geq0$ olduğu sonucuna varılır.

Eğer $\lambda=0$ bir özdeğer ise (4.1.2) eşitliğinden $q\equiv X'\equiv0$ olup $X$ fonksiyonunun sabit olduğu görülür. $X\not\equiv0$ olduğundan (4.1.2) gereği $a_1=0$ olmalıdır yani $p(a)a_1=0$. Ayrıca $p(a)=0$ ise $p(a)a_1=0$ olacağı açıktır. $p(a)>0$ ise de benzer şekilde $p(b)a_2=0$ olduğu da görülür. Tersine, eğer $q\equiv0$ ve $p(a)a_1=p(b)a_2=0$ ise, (4.1.1)-(4.1.3) sınır değer probleminin $(pX')'+\lambda rX=0$ denklemi ve $X'(a)=0$ ve $X'(b)=0$ sınır koşullarından meydana gelmesi mümkündür. Bu problemin ise $\lambda=0$ için özdeş olarak sıfır olmayan sabit bir çözümü vardır, yani $\lambda=0$ bir özdeğerdir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Bir Sturm-Liouville problemi, $q$ negatif bir fonksiyon ise veya $a_1b_1\leq0$ ise elbette negatif özdeğerlere sahip olabilir.

Böylece Bölüm 3.9'da oartaya koyduğumuz sorulardan (ii), (iv), (v) ve (vii)'nin ilk eşitsizliği olumlu olarak cevaplanmış oldu.