3.5. Farklı Uç Nokta Koşulları

Şimdi çubuğun $x=0$ uç noktası sabit olarak sıfır sıcaklıkta tutulsun fakat $x=a$ noktasındaki diğer ucu ortamdan izole edilmiş olsun ve bu uç nokta ile ortam arasında ısı yayılımı olmasın. Bu durumda elimizdeki sınır değer problemi $$\begin{array}{ll} u_{t}=ku_{xx} ,& \quad(x,t)\in D\text{ için}\\ u(0,t)=0, & \quad t\geq0\text{ için}\\ u_x(a,t)=0, & \quad t\geq0\text{ için} \\ u(x,0)=f(x), & \quad0\leq x\leq a \text{ için} \end{array}$$ biçimindedir. Buradaki $f$ fonksiyonu negatif olmayan, sürekli, türevi de parçalı sürekli ve $f(0)=f'(a)=0$ koşulunu sağlayan bir fonksiyondur.

Değişkenlere ayırma yöntemiyle yine $$X(x)=A\sin\sqrt{\lambda/k}\,x+B\cos\sqrt{\lambda/k}\,x$$ olduğu görülebilir, burada sınır koşulları olan $$X(0)=X'(a)=0$$ eşitlikleri kullanılırsa $$B=0\quad\text{ve}\quad \lambda=\frac{(2n-1)^2\pi^2}{4a^2}k$$ olduğu sonucu elde edilir. Böylece $c_n$ keyfi sabitler olmak üzere $$c_ne^{-(2n-1)^2\pi ^2kt/4a^2}\sin\frac{(2n-1)\pi}{2a}x$$ fonksiyonları ısı iletim denklemini ve yukarıda verdiğimiz uç nokta koşullarını sağlar.

Başlangıç koşulunun sağlanması için ise $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\frac{(2n-1)\pi}{2a}x$$ eşitliği sağlanacak şekilde $c_n$ katsayılarının bulunabileceğini göstermemiz gerekir. Buradaki zorluk şudur: dikkat edilirse $(2n-1)/2$ sayısı bir tamsayı olmadığından bu seri $(0,a)$ aralığında bir Fourier sinüs serisi olamaz. Bundan dolayı daha önceki bölümlerde geliştirdiğimiz teori bu probleme uygulanamaz. Elbette bu problemi başlangıç noktası kabul edip yeni bir çeşit trigonometrik seri için benzer bir teori geliştirebiliriz, ama buna gerek yok, daha basit bir seçeneğimiz var.

Yukarıdaki seri $(0,a)$ aralığında bir Fourier serisi değil, ama $(0,2a)$ aralığında elbette bir Fourier sinüs sersidir, çünkü $2n-1$ bir tamsayıdır. O halde yapmamız gereken şey problemimizi fiziksel dinamikleri değişmeyecek şekilde $(0,2a)$ aralığına genişletmektir. Bunu şöyle yapacağız,

1. $f$ fonksiyonunu, $x=a$ doğrusuna göre simetrik olacak şekilde $[0,2a]$ aralığına genişleteceğiz, yani başlangıç sıcaklık dağılımı için $$\tilde{f}(x):=\left\{ \begin{array}{ll} f(x), &\quad 0\leq x\leq a\text{ ise}\\ f(2a-x), &\quad a\lt x\leq2a\text{ ise} \end{array} \right.$$ fonksiyonunu tanımlayacağız.
2. $x=2a$ uç noktasında sıcaklığın sabit olarak sıfırda tutulmasını varsayacağız.

Dikkat edilirse tanımından dolayı $\tilde{f}$ fonksiyonu süreklidir, ayrıca $f'$ parçalı sürekli olduğundan $\tilde{f}'$ fonskiyonu da öyledir. $f$ fonksiyonunda bu yaptığımız genişleme ele aldığımız problemi $x=a$ dikey eksenine göre simetrik bir probleme dönüştürür ve $x=a$ noktasında dik kesit boyunca bir ısı iletimi yoktur. Bundan dolayı eğer $u$ fonksiyonu $$\begin{array}{ll} u_{t}=ku_{xx} ,& \quad 0\lt x\lt 2a\text{ ve } t>0 \text{ için}\\ u(0,t)=0, & \quad t\geq0\text{ için}\\ u(2a,t)=0, & \quad t\geq0\text{ için} \\ u(x,0)=\tilde{f}(x), & \quad0\leq x\leq 2a \text{ için} \end{array}$$ sınır değer probleminin bir çözümü ise aynı zamanda $t\geq0$ için $u_x(a,t)=0$ koşulunu da sağlar ve az önce ele aldığımız orijinal problemimizin de $0\leq x\leq a$ için bir çözümüdür.

Teorem 3.1.3 gereği bu problemin tek çözümü $$\sum_{n=1}^{\infty}c_ne^{-n^2\pi^2kt/4a^2}\sin\frac{n\pi}{2a}x$$ biçimindedir ve buradaki $c_n$ sayıları \begin{eqnarray*} c_n &=& \frac{2}{2a}\int_{0}^{2a}\tilde{f}(x)\sin\frac{n\pi}{2a}x\,dx\\ &=& \frac{1}{a}\int_{0}^{a}f(x)\sin\frac{n\pi}{2a}x\,dx+\frac{1}{a}\int_{a}^{2a}f(2a-x)\sin\frac{n\pi}{2a}x\,dx\\ &=& \frac{1}{a}\int_{0}^{a}f(x)\sin\frac{n\pi}{2a}x\,dx-\frac{1}{a}\int_{a}^{0}f(s)\sin\frac{n\pi}{2a}(2a-s)\,ds\\ &=& \frac{1}{a}\int_{0}^{a}f(x)\sin\frac{n\pi}{2a}x\,dx+\frac{1}{a}\int_{0}^{a}(-1)^{n+1}f(s)\sin\frac{n\pi}{2a}s\,ds\\ &=& \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \quad n \text{ çift ise}\\ \frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(x)\sin\frac{n\pi}{2a}x, & \quad n \text{ tek ise} \end{array} \right. \end{eqnarray*} biçimindedir. Böylece $$c_{2n-1}:=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(x)\sin\frac{(2n-1)\pi}{2a}x\,dx$$ olmak üzere $$\sum_{n=1}^{\infty}c_{2n-1}e^{-(2n-1)^2\pi^2kt/4a^2}\sin\frac{(2n-1)\pi}{2a}x$$ serisinin toplamu olan $u(x,t)$ fonksiyonu bu bölümde ele aldığımız orijinal sınır değer probleminin bir çözümüdür. Çözümün $\overline{D}$ kümesinde sürekli olduğu daha önce yaptığımız gibi kolayca görülebilir ve böylece çözüm Hadamard anlamında kararlıdır, ayrıca $f\geq0$ ise $u\geq0$ olur. ayrıca $u$ fonksiyonu önceki bölümlerde incelediğimiz yapıda olduğundan $t\rightarrow\infty$ için $u(t,x)\rightarrow0$ olduğu da kolayca gösterilebilir.