3.4. Uçları Yalıtımlı Çubuk

Şimdi çubuğun uç noktaları da dahil tamamen ortamdan izole olduğunu düşünelim. Fourier yasasına göre ısı $x$ noktasındaki kesitten $-\kappa Au_x(x,t)$ oranıyla geçtiğinden ve uç noktalarda yüzey boyunca bir ısı akımı olmadığından $$\begin{array}{ll} u_{t}=ku_{xx} ,& \quad(x,t)\in D\text{ için}\\ u_x(0,t)=0, & \quad t\geq0\text{ için}\\ u_x(a,t)=0, & \quad t\geq0\text{ için} \\ u(x,0)=f(x), & \quad0\leq x\leq a \text{ için} \end{array}$$ sınır değer problemiyle karşılaşırız, burada $f$ fonskiyonu süreklidir, türevi parçalı süreklidir ve $f'(0)=f'(a)=0$ koşulunu sağlar.

Herhangi bir sabit fonksiyon ısı denklemini ve buradaki uç nokta koşullarını sağlar. Diğer çözümler ise değişkenlere ayırma yöntemiyle elde edilebilir. Eğer $u(x,t)=X(x)T(t)$ biçiminde bir çözümün var olduğunu kabul edersek, daha önce yaptığımız gibi bu $X$ ve $T$ fonksiyonlarının $$kX''+\lambda X=0\quad\text{ve}\quad T'+\lambda T=0$$ denklemlerini sağlaması gerektiğini görürüz, burada $\lambda$ bir sabittir ve ilk denklem $$X'(0)=X'(a)=0$$ sınır koşullarına tabidir. Kolayca görülebilir ki sabit olmayan bir çözüm sadece $\lambda>0$ durumunda mümkündür ve bu durumda genel çözüm $$X(x)=A\sin\sqrt{\lambda/k}\,x+B\cos\sqrt{\lambda/k}\,x$$ biçimindedir. yukarıdaki sınır koşulları uygulanırsa $n$ bir tamsayı olmak üzere $$A=0\quad\text{ve}\quad \lambda=\frac{n^2\pi^2}{a^2}k$$ olduğu görülür. $T'+\lambda T=0$ denkleminin de çözümü elde edilirse ısı denkleminin çözümünün, $c_n$ keyfi bir sabit olmak üzere $$c_ne^{-n^2\pi^2kt/a^2}\cos\frac{n\pi}{a}x$$ biçimine sahip olduğu sonucuna varılır. Daha önce yaptığımız tüm işlemlere benzer şekilde $$c_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(x)\cos\frac{n\pi}{a}x\,dx$$ olmak üzere bu sınır değer probleminin bir çözümünün $$\frac{1}{2}c_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_ne^{-n^2\pi^2kt/a^2}\cos\frac{n\pi}{a}x$$ olduğu ve bu çözümün $\overline{D}$ kümesinde sürekli olduğu gösterilebilir. Fakat bu çözümün Hadamard anlamında kararlı olduğunu daha önce kanıtladığımız maksimum prensibini kullanarak göstermeyiz, çünkü bu durumda $u$ fonksiyonunun $x=0$ ve $x=a$ için değerleri verilmiyor. Daha sonra kanıtlayacağımız başka bir çeşit maksimum prensibini kullanarak bu çözümün kararlı olduğunu ve $f\geq0$ için negatif olmadığını gösterebileceğiz.

Son olarak bu izole çubuğun toplam sıcaklığının sabit olduğunu gözlemlersek, yeterince zaman geçtikten sonra çubuktaki sıcaklığın her yerde başlangıç sıcaklık dağılımının ortalamasına eşit olacağını bekleriz. Bunu matematiksel olarak da görebiliriz, daha önce asimptotik davranışı incelerken yaptığımız gibi benzer işlemlerle $[0,a]$ aralığında $t\rightarrow\infty$ için $$u(x,t)\rightarrow\frac{c_0}{2}=\frac{1}{a}\int_{0}^{a}f(x)\,dx$$ olduğu görülür.