Lineer Cebire Giriş

Modern matematikte ilgilendiğimiz bir çok problem doğrusal olmasa da önemli problemlerimizin büyük çoğunluğu doğrusal (lineer) yöntemlere dayanır. Lineer yöntem veya lineer problem kavramları doğrudan lineer dönüşümler ile bağlantılıdır, bu dönüşümlerin rol aldığı her türlü kavram lineer cebir dersinin konusudur.

Bu ders notlarında lineer cebir dersinin en temel konuları detaylı bir şekilde tartışılacaktır. Önce lineer uzay ve vektör kavramları tanıtılarak dersin tamamında ihtiyacımız olacak temel bilgiler aktarılacak, daha sonra da lineer dönüşümler incelenmeye başlanacaktır. Lineer dönüşümleri temsil etmekte kullanılan matrislerin de kapsamlı bir analizi yapılacaktır.

1. Vektör Uzayları

Özet: Bu bölümde öncelikle vektör uzayı kavramını tanımlayıp bunların elemanları olan vektörlerden belirli özelliklere sahip olan bazılarının, bunlara baz diyeceğiz, tüm vektör uzayını temsil etmekte nasıl kullanılabileceğini göreceğiz. Bu vektörler yardımıyla bir uzayın boyutu kavramını tanımlayıp boyutları aynı olan tüm vektör uzaylarının yapısal olarak benzer olduklarını göstereceğiz. Daha sonra bir vektör uzayının alt uzayı kavramını tanıtıp bunların bazlarının vektör uzayının bazına tamamlanabileceğini göstereceğiz.

1.1. Temel Tanımlar

Özet: Lineer cebir dersinin konusu lineer dönüşümler ve lineer problemlerdir, bunun için önce lineer uzay (vektör uzayı) kavramını tanımalısınız. Vektör uzaylarının elemanlarına vektör deriz, bu derste skaler-vektör ayrımını yapacağız (cisim-vektör uzayı).

Anahtar Kelimeler: Birim Eleman · Çarpma · Cisim · Koordinat Uzayı · Skaler · Ters Eleman · Toplama · Vektör · Vektör Uzayı

1.2. Lineer Bağımsızlık

Özet: Bu derste lineer cebir için çok önemli bir kavram olan lineer bağımsızlık kavramını açıklayacağız. Bunun dışında bir kümeyi germe kavramını ve uzayı geren vektörlerin bazı temel özelliklerini de keşfedeceğiz.

Anahtar Kelimeler: Aşikar Lineer Bağıntı · Aşikar Olmayan Lineer Bağıntı · Geren Küme · Gerilen Küme · Germe · Lineer Bağımlılık · Lineer Bağımsızlık · Lineer Bağıntı · Lineer Kombinasyon · Lineerlik

1.3. Baz ve Boyut

Özet: Bu derste vektör uzayları için baz ve boyut kavramlarını tartışacağız. Göreceğiz ki bir vektör uzayı aslında onun bazı denilen bir alt kümesi ile temsil edilebilir. Bu bilgi ileride çok işimize yarayacak.

Anahtar Kelimeler: Baz · Boyut · Kronecker Delta · Sonlu Boyutlu Uzay · Taylor Polinomu

1.4. Alt Uzaylar

Özet: Bir vektör uzayının bir alt kümesi aynı işlemlere göre yine bir vektör uzayı oluyorsa buna bir alt uzay denir. Vektör uzaylarının temel özelliklerinin alt uzaylarıyla yakından ilişkisi vardır, bu derste bu konulara değineceğiz.

Anahtar Kelimeler: Alt Uzay · Direkt Toplam · En Küçük Alt Uzay · Küme Toplamı · Tümleyen

2. Lineer Dönüşümler ve Matrisler

Özet: Bu bölümde lineer dönüşüm kavramı tanıtılıp bazı özellikleri detaylı olarak ele alınacaktır. Daha sonra matrisler tanımlanacak ve bunlar yardımıyla lineer dönüşümlerin nasıl temsil edildiği açıklanacaktır. Matrisler yardımıyla lineer dönüşümlerin bazı özellikleri araştırılacak ve lineer problemlerin çözüm yöntemleri verilecektir.

2.1. Lineer Dönüşümler

Özet: Bu bölümde lineer cebir dersinin temel konusu olan lineer dönüşüm kavramı anlatılacak. Ayrıca bununla bağlantılı diğer kavramlar da açıklanacak olup detaylı teorik araştırma yapılacaktır.

Anahtar Kelimeler: Birim Dönüşüm · Çekirdek · Değişmeli Cebir · Epimorfizm · Görüntü · Homomorfizm · Izdüşüm · Izomorfizm · Lineer Dönüşüm · Monomorfizm · Nullity · Projeksiyon · Rank · Sadeleşme · Sıfırlık Sayısı · Skaler Dönüşüm · Tam Ters Görüntü

2.2. Matrisler

Özet: Bu derste matris kavramını tanımlayacağız, daha sonra bu nesneler ile lineer dönüşümlerin nasıl temsil edileceğini tartışacağız. Lineer dönüşümler seçilen baza bağlı olarak bir matris ile temsil edilir.

Anahtar Kelimeler: Esas Köşegen · Köşegen Matris · Matris · Rank · Satır Rankı · Sıfırlık Sayısı · Sütun Rankı

2.3. Tersinir Matrisler

Özet: Bu derste matris terslerini ele alacağız. Bir matris bir dönüşümü temsil ediyorsa onun tersi denilen matris de bu dönüşümün ters dönüşümünü (varsa) temsil eder.

Anahtar Kelimeler: Birim Matris · Endomorfizm · Matris Tersi · Otomorfizm · Singüler Matris · Tekil Matris · Ters Dönüşüm · Tersinir Matris

2.4. Baz Değişimi

Özet: Lineer dönüşümlerin verilen sabit bazlara göre bir matris ile temsil edildiğini daha önceden öğrendik. Bu bölümde seçilen bazlar değiştirildiğinde bu matrislerin nasıl etkilendiğini araştıracağız.

Anahtar Kelimeler: Baz Değişimi · Benzer Matrisler · Benzerlik · Geçiş Matrisi

2.5. Hermite Normal Biçimi

Özet: Bir önceki bölümde seçilen bazlar değiştirildiğinde bir lineer dönüşümü temsil eden matrisin nasıl değiştiğini anladık. Bu bölümde şu soruya cevap arayacağız: nasıl bir baz seçelim ki dönüşümü temsil eden matris en basit yapıda olsun?

Anahtar Kelimeler: Hermite Normal Biçim · Satır Eşelon Form · Transpoz

2.6. Elementer Matrisler

Özet: Bu derste şunu keşfedeceğiz: bir matrise elementer işlem dediğimiz bazı işlemler uygulanınca lineer dönüşümü temsil etmesi için seçilen bir bazda bir eleman değişir. Bu işlemleri uygulamak demek aslında matrisi elementer matrisler denilen matrislerle çarpmak demektir. Böylece Hermite normal biçime ulaşmak için ardışık olarak elementer işlemler uygulanabilir.

Anahtar Kelimeler: Elementer Işlem · Elementer Matris · Elementer Satır Işlemleri · Elementer Sütun Işlemleri · Hermite Normal Biçim · Matris Tersi · Tersinir Matris

2.7. Lineer Problemler

Özet: Bu derste lineer problemleri tanıtacağız, bunların çözümlerinin bir alt uzay oluşturduğunu ve bazı önemli özelliklerini öğreneceğiz. özel çözüm ve genel çözüm kavramları size bu teorinin bazı uygulamalarını hatırlatacaktır.

Anahtar Kelimeler: Genel Çözüm · Genişletilmiş Matris · Homojen Lineer Problem · Homojen Sistem · Lineer Denklem Sistemi · Lineer Problem · Özel Çözüm

2.8. Bazı Uygulamalar

Özet: Bu derse kadar Hermite normal biçimin bazı önemli uygulamalarını gördünüz, matris tersi hesaplama, lineer problem çözümü gibi. Bu bölümde başka bazı uygulamalar özetlenecektir.

2.9. Normal Formlar

Özet: Bu derste en genel anlamıyla normal veya kanonik form (biçim) kavramı açıklanacaktır. Özetle bir denklik bağıntısı verildiğinde bir denklik sınıfından seçilen özel bir matrise bir normal form denir.

Anahtar Kelimeler: Bağıntı · Denklik Bağıntısı · Denklik Sınıfı · Kanonik Form · Normal Form

3. Determinantlar, Özdeğerler ve Benzerlik

Özet: Bu bölümde lineer dönüşümüleri araştırmaya devam edeceğiz. Daha önce öğrendiğimiz gibi lineer dönüşümler matrislerle temsil ediliyordu, dolayısıyla matrislerin analizi oldukça önemlidir. Matrislerin özelliklerini araştırmak için çok önemli araçlar olan determinant, özdeğer, özvektör, iz gibi kavramları tanıyacağız.

3.1. Permütasyonlar

Özet: Determinant kavramını temellendirebilmek için önce permütasyon kavramını anlamalıyız. Bu derste bunu yapacağız, permütasyonlar kısaca bir küme üzerinde tanımlı bire bir dönüşümlerdir.

Anahtar Kelimeler: Birim Permütasyon · Çift Permütasyon · Evirtim · Permütasyon · Permütasyon Işareti · Tek Permütasyon · Ters Permütasyon

3.2. Determinantlar

Özet: Bu derste determinant kavramını tanıyacağız ve temel özelliklerini keşfedeceğiz. Bu kavram bize matrislerin singülerliğini test etmek için pratik bir yöntem sağlar.

Anahtar Kelimeler: Determinant · Permütasyon

3.3. Kofaktörler

Özet: Bu derste kofaktör ve adjoint (adjunct, eşlenik, ilave) matris kavramınlarını tartışacağız. Bunlar yardımıyla determinantları ve matris terslerini hesaplama yöntemleri ve lineer denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir yöntem olan Cramer kuralını keşfedeceğiz.

Anahtar Kelimeler: Adjoint Matris · Adjunct · Cramer Kuralı · Ilave Matris · Kofaktör

3.4. Hamilton-Cayley Teoremi

Özet: Bu derste polinomsal matrislere ilişkin çok önemli bir sonuç olan Hamilton-Cayley teoremini kanıtlayacağız. Ayrıca minimal polinom ve özellikleri konusuna da değineceğiz.

Anahtar Kelimeler: Cayley-Hamilton Teoremi · Eş Matris · Karakteristik Denklem · Karakteristik Matris · Karakteristik Polinom · Minimal Polinom · Minimum Denklem · Polinomsal Matris

3.5. Özdeğerler ve Özvektörler

Özet: Bu derste özdeğer problemlerine değineceğiz, bunun için önce özdeğer ve özvektör kavramlarının tanıyıp önemlerini tartışacağız. Daha sonra özdeğer ve özvektörlerin temel özelliklerini keşfedeceğiz.

Anahtar Kelimeler: Cebirsel Katlılık · Fourier Analizi · Fourier Serisi · Geometrik Katlılık · Invaryant Alt Uzay · Öz Uzay · Özdeğer · Özvektör

3.6. Benzerlik

Özet: Bir lineer dönüşümle ilgilenirken genellikle onu mümkün olan en basit matrisle temsil etmemizi sağlayacak bazları araştırırız. Bunun için isteyeceğimiz en basit matrisler köşegen elemanları dışındaki tüm elemanları sıfır olan matrislerdir (köşegen matrisler). Her dönüşüm bir köşegen matrisle temsil edilemese de matrislerin önemli bir sınıfı için bu mümkündür. Bu derste bu konuyu tartışacağız.

Anahtar Kelimeler: Köşegen Matris · Matris Izi · Trace

KAYNAKÇA

  1. S. Axler, Linear Algebra Done Right 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1997.
  2. E. D. Nering, Linear Algebra and Matrix Theory 2nd Ed., John Wiley & Sons Inc., New York, 1970.
  3. I. M. Gel'fand, Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, New York, 1961.