2.7. Lineer Problemler

Kayıt Tarihi:

Özet:

Bu derste lineer problemleri tanıtacağız, bunların çözümlerinin bir alt uzay oluşturduğunu ve bazı önemli özelliklerini öğreneceğiz. özel çözüm ve genel çözüm kavramları size bu teorinin bazı uygulamalarını hatırlatacaktır.

Anahtar Kelimeler: genel çözüm · genişletilmiş matris · homojen lineer problem · homojen sistem · lineer denklem sistemi · lineer problem · özel çözüm

Tanım 2.7.1
$U$'dan $V$'ye tanımlı bir $\sigma$ dönüşümü ve bir $\beta\in V$ vektörü verildiğinde \begin{equation} \label{eq:lint:16} \tag{2.7.1} \sigma\left(\xi\right)=\beta \end{equation} eşitliğini sağlayan $\xi\in U$ vektörlerini bulma problemine bir lineer problem denir.

Uyarı 2.7.2
Eğer $\beta\not\in\sigma\left(U \right)$ ise \eqref{eq:lint:16} lineer probleminin hiç bir çözümü yok demektir, $\beta\in\sigma\left(U \right)$ ise $\sigma(\xi)=\beta$ ise en az bir çözüm vardır. $\xi_0\in U$ bir çözüm olsun, böyle her bir çözüme bir özel çözüm denir. $\xi\in U$ vektörü bu lineer problemin başka bir çözümü olsun, bu durumda $\sigma\left(\xi-\xi_0\right)=\sigma(\xi)-\sigma(\xi_0)=\beta-\beta=0$ olacağından $\xi-\xi_0\in K(\sigma)$ olduğu anlaşılır. Tersine, eğer $\xi-\xi_0\in K(\sigma)$ ise, $\sigma(\xi)=\sigma(\xi_0+\xi-\xi_0)=\sigma(\xi_0)+\sigma(\xi-\xi_0)=\beta+0=\beta$ olacağından $\xi$ vektörünün bir çözüm olduğu anlaşılır. Sonuç olarak \eqref{eq:lint:16} probleminin tüm çözümlerinin kümesi $$\{\xi_0\}+K(\sigma)$$ biçimindedir. $\{\xi_0\}$ kümesi tek elemanlı olduğu için $K(\sigma)$ ile $\{\xi_0\}+K(\sigma)$ kümeleri arasında bire bir eşleme vardır. Dolayısıyla çözümler kümesinin boyutu $K(\sigma)$ uzayının boyutu yardımıyla tasvir edilebilir. $\beta=0$ olmadıkça \eqref{eq:lint:16} probleminin çözümleri kümesi bir alt uzay olmaz (bu durumda çözüm uzayı $K(\sigma)$ alt uzayıdır) fakat bazen bu küme için de boyut kavramını kullanırız, mesela bu kümenin boyutunun $\sigma$ dönüşümünün sıfırlılığı olan $\nu(\sigma)$ sayısı olduğunu söyleriz.

Tanım 2.7.3
$\sigma(\xi)=0$ lineer problemine, \eqref{eq:lint:16} problemine karşılık gelen homojen lineer problem denir.

Tanım 2.7.4
\eqref{eq:lint:16} probleminin bir özel çözümü ile buna karşılık gelen homojen problemin çözümü toplamına \eqref{eq:lint:16} probleminin genel çözümü denir. Homojen problemin çözümü ise $\sigma$ dönüşümünün çekirdeğidir.

Uyarı 2.7.5
Dikkat edilirse homojen problemin sıfırdan farklı bir çözümünün olması demek Teorem 2.1.22 gereği $\rho(\sigma)\lt n$ olması, yani $\sigma$ dönüşümünün singüler olması demektir (bk. Teorem 2.3.3, Teorem 2.3.4).

Uyarı 2.7.6
$\sigma$ lineer dönüşümü $A:=\left[a_{ij}\right]$ matrisi ile, $\xi\in U$ ve $\beta\in V$ vektörleri de sırasıyla $X:=\left(x_1,\ldots,x_n\right)$ ve $B:=\left(b_1,\ldots,b_m\right)$ ile temsil edilsin. Bu durumda \eqref{eq:lint:16} lineer problemi \begin{equation} \label{eq:lint:17} \tag{2.7.2} AX=B \end{equation} olarak matris biçiminde, ya da \begin{equation} \label{eq:lint:18} \tag{2.7.3} \sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i,\qquad i=1,\ldots,m \end{equation} olarak lineer denklem sistemi biçiminde yazılabilir.

Tanım 2.7.7
$A$ ve $B$ matrisleri verilsin, bu durumda $$\left[A,B\right]:= \left[\begin{array}{cccc} a_{11}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}&b_m \end{array}\right] $$ matrisine \eqref{eq:lint:17} lineer probleminin genişletilmiş matrisi denir.

Teorem 2.7.8
\eqref{eq:lint:17} lineer denkleminin bir çözümünün var olması için gerek ve yeter koşul; $A$ matrisinin rankının ($\rho$), $[A,B]$ genişletilmiş matrisinin rankına eşit olmasıdır. Bu durumda tüm çözümler $\nu=n-\rho$ bağımsız parametreye bağlı olarak ifade edilebilir.

İspat: Uyarı 2.7.2 ile verildiği üzere \eqref{eq:lint:16} probleminin bir çözümünün var olması için gerek ve yeter koşul $\beta\in\sigma\left(U\right)$ olmasıdır. Bu da ancak ve ancak $\beta$ vektörünün $\{\sigma(\alpha_1),\ldots,\sigma(\alpha_n) \}$ vektörlerinün bir lineer kombinasyonu olmasıyla mümkündür. Bu koşul da $B$'nin $A$ matrisi sütunları ile lineer bağımlı olmasına denktir, yani genişletilmiş matrisi elde etmek için $A$ matrisine $b_i$ elemanlarının sütununu eklemek rankı arttırmaz. Ayrıca bu sütunu $A$ matrisine eklemek rankı düşüremeyeceğinden bir çözümün var olması için gerek ve yeter koşulun bu rankların eşit olması gerektiği anlaşılmış olur.

Şimdi öyle bir tersinir $Q$ matrisi alalım ki $A':=Q^{-1}A$ matrisi Hermite normal biçime sahip olsun (bk. Teorem 2.5.2), bu durumda $A'X=Q^{-1}AX=Q^{-1}B:=B'$ olduğundan \eqref{eq:lint:17} probleminin her çözümü $A'X=B'$ probleminin de bir çözümü olur. Ayrıca $A'X=B'$ probleminin her çözümü, $AX=QA'X=QB'=B$ olduğundan, $AX=B$ probleminin de bir çözümüdür. Yani bu iki problem birbirine denktir. Şimdi $A'X=B'$ sistemini çözmek görece kolaylaşmış oldu, çünkü $x_{k_i}$ elemanı sadece $i-$nci eşitlikte yer alır ve ilk $\rho$ tane satırdan sonra tüm elemanlar 0 olur. Ayrıca $B'$ sütunu $A'$ matrisi sütunlarının lineer kombinasyonu olduğundan $B'$ sütununun $\rho$ satırından altta kalan elemanları 0 olacaktır. Sonuç olarak $A'X=B'$ sistemi $$ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} x_k&+&a_{1,k_1+1}'x_{k_1+1}&+&\cdots 0&+&a_{1,k_2+1}'x_{k_2+1}&+&\cdots&=&b_1'\\ &&&&x_{k_2}&+&a_{2,k_2+1}'x_{k_2+1}&&&=&b_2'\\ &&&&&&&&&\vdots& \end{array} $$ biçimine sahip olacaktır. Burada $x_{k_i}$ bilinmeyenleri ($\rho$ tane) ilk $\rho$ tane satırda bulunduğu için diğer $n-\rho$ tane bilinmeyenler keyfi olarak seçilebilir, bunlar teoremin ifadesinde bahsedilen keyfi parametrelerdir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Örnek 2.7.9
Örnek olarak $$ \begin{array}{rcr} 4x_1+3x_2+2x_3-x_4&=&4\\ 5x_1+4x_2+3x_3-x_4&=&4\\ -2x_1-2x_2-x_3+2x_4&=&-3\\ 11x_1+6x_2+4x_3+x_4&=&11 \end{array} $$ sistemini ele alalım. Bu durumda genişletilmiş matris $$ \left[A,B\right]= \left[\begin{array}{rrrrr} 4&3&2&-1&4\\ 5&4&3&-1&4\\ -2&-2&-1&2&-3\\ 11&6&4&1&11 \end{array}\right] $$ olacaktır. Örnek 2.6.9 gereği bu matrisin Hermite normal formu $$ \left[\begin{array}{rrrrr}1&0&0&1&1\\0&1&0&-3&2\\0&0&1&2&-3\\0&0&0&0&0\end{array}\right] $$ matrisidir. Dolayısıyla $A'X=B'$ denklem sistemi $$\begin{array}{rcr}x_1+x_4&=&1\\x_2-3x_4&=&2\\x_3+2x_4&=&-3\end{array}$$ halini alır. Bu denklemler $x_4$ bilinmeyenine keyfi bir değer verilerek çözülebilir. Örneğin $x_4=0$ seçilerek bir $X_0=(1,2,-3,0)$ özel çözümü elde edilebilir. Denklem sistemini $$ \begin{array}{rcr} x_1&=&1-x_4\\ x_2&=&2+3x_4\\ x_3&=&-3-2x_4\\ x_4&=&x_4 \end{array} $$ biçiminde yazarsak, vektör notasyonunda \begin{equation} \label{eq:lint:19} \tag{2.7.4} \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(1,2,-3,0\right)+x_4\left(-1,3,-2,1\right) \end{equation} olduğunu görürüz. Yani $x_4$ parametresine keyfi değerler vererek keyfi çoklukta çözüm elde edilebilir. Diğer yandan karşılık gelen homojen problemin çözümünün $\left(-1,3,-2,1\right)$ olduğu doğrulanabilir, aslında bu vektör çekirdeğin bir bazıdır ve her $x_4$ değeri için $x_4\left(-1,3,-1,1\right)$ vektörü çekirdeğin bir elemanı olur. Sonuç olarak \eqref{eq:lint:19} ile verilen lineer problemin genel çözümünü bir özel çözüm ile dönüşüm çekirdeğinin toplamı olarak ifade etmiş olduk.

Teorem 2.7.10
\eqref{eq:lint:17} lineer probleminin bir çözümünün var olmaması için gerek ve yeter koşul \begin{equation} \label{eq:lint:20} \tag{2.7.5} CA=0\quad\text{ve}\quad CB=1 \end{equation} olacak şekilde tek satırdan oluşan bir $C$ matrisinin var olmasıdır.

İspat: \eqref{eq:lint:17} probleminin bir çözümü var olsun ve \eqref{eq:lint:20} eşitliklerini sağlayan bir $C$ matrisi var olsun. Bu durumda $0=\left(CA\right)X=C\left(AX\right)=CB=1$ olurdu ki bu bir çelişkidir. Şimdi varsayalım ki \eqref{eq:lint:17} probleminin çözümü var olmasın, bu durumda Teorem 2.7.8 gereği $\left[A,B\right]$ genişletilmiş matrisinin rankı $A$ matrisinin rankından ($\rho$) daha büyük olur. $Q$ matrisini öyle seçelim ki $Q^{-1}\left[A,B\right]$ matrisi Hermite normal biçimine sahip olsun (bk. Teorem 2.5.2). Bu durumda $Q^{-1}\left[A,B\right]$ matrisinin $(\rho+1)-$inci satırında son sütunda 1 elemanı yer alır ve diğer tüm elemanlar 0'dır. Eğer $Q^{-1}$ matrisinin $(\rho+1)-$inci satırını $C$ matrisi olarak tanımlarsak $C\left[A,B\right]=\left[0,0,\ldots,1\right]$ olduğunu görürüz ki bu da \eqref{eq:lint:20} eşitliklerine denktir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Alıştırmalar

  1. Aşağıdaki lineer problemin tüm çözümlerinin oluşturduğu alt uzayı tespit edin. $$ \begin{array}{rcr} x_1+2x_2-3x_3+x_4&=&0\\ 3x_1-x_2+5x_3-x_4&=&0\\ 2x_1+x_2+x_4&=&0 \end{array} $$
  2. Aşağıdaki lineer problemlerin tüm çözümlerini tespit edin.
    1. $$ \begin{array}{rcr} x_1+3x_2+5x_3-2x_4&=&11\\ 3x_1-2x_2-7x_3+5x_4&=&0\\ 2x_1+x_2+x_4&=&7 \end{array} $$
    2. $$ \begin{array}{rcr} x_1+3x_2+2x_3+5x_4&=&10\\ 3x_1-2x_2-5x_3+4x_4&=&-5\\ 2x_1+x_2-x_3+5x_4&=&5 \end{array} $$
    3. $$ \begin{array}{rcr} 2x_1-x_2+3x_3&=&1\\ x_1-x_2+2x_3&=&-2\\ 4x_1-3x_2+x_3&=&-3\\ x_1-5x_3&=&3 \end{array} $$
    4. $$ \begin{array}{rcr} 7x_1+3x_2+21x_3-13x_4+x_5&=&-14\\ 10x_1+3x_2+30x_3-16x_4+x_5&=&-23\\ 7x_1+2x_2+21x_3-11x_4+x_5&=&-16\\ 4x_1+3x_2+27x_3-15x_4+x_5&=&-20 \end{array} $$

Önceki Ders Notu:
2.6. Elementer Matrisler
Dersin Ana Sayfası:
Lineer Cebire Giriş
Sonraki Ders Notu:
2.8. Bazı Uygulamalar