2.5. Hermite Normal Biçimi
Kayıt Tarihi:
Bir önceki bölümde seçilen bazlar değiştirildiğinde bir lineer dönüşümü temsil eden matrisin nasıl değiştiğini anladık. Bu bölümde şu soruya cevap arayacağız: nasıl bir baz seçelim ki dönüşümü temsil eden matris en basit yapıda olsun?
Anahtar Kelimeler: Hermite normal biçim · satır eşelon form · transpozBu bölümde sadece $V$'deki bazı değiştirerek $U$'dan $V$'ye tanımlı bir $\sigma$ dönüşümünü temsil eden matrisin ne kadar basitleştirilebileceğini araştıracağız.
Uyarı 2.5.1
$A:=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n \}$ kümesi $U$'da verilmiş bir baz olsun ve $U_k:=\langle \alpha_1,\ldots\alpha_k \rangle$ olarak tanımlansın. $V$'nin $\sigma\left(U_k\right)$ alt uzayları $\sigma\left(U_{k-1}\right)\subset\sigma\left(U_k\right)$ ve $\sigma\left(U_n\right)=\sigma\left(U\right)$ özelliklerine sahiptir, dolayısıyla bunlar $V$'nin azalmayan bir bir alt uzayı zincirini oluşturur. $\sigma\left(U_k\right)=\sigma\left(U_{k-1}\right)+\langle \sigma(\alpha_k) \rangle$ olduğundan Teorem 1.4.12 gereği $\dim\sigma\left(U_k\right)\leq\dim\sigma\left(U_{k-1}\right)+1$ olur, yani $k$ indisi bir arttığında $\sigma\left(U_k\right)$ alt uzayının boyutu $1$'den fazla artmaz. $\dim\sigma\left(U_n\right)=\rho$ olduğundan $\sigma$ dönüşümünün rankındaki $1$ birimlik artışlar $\rho$ defa gerçekleşmiş olmalıdır. Artış gerçekleşmediği zamanlarda (varsa) $\dim\sigma\left(U_k\right)=\dim\sigma\left(U_{k-1}\right)$ ve dolayısıyla $\sigma\left(U_k\right)=\sigma\left(U_{k-1}\right)$ olmalıdır. $\sigma(\alpha_k)\not\in\sigma\left(U_{k-1}\right)$ ise 1 birim artış olur, $\sigma(\alpha_k)\in\sigma\left(U_{k-1}\right)$ ise artış olmaz.Şimdi farz edelim ki bu $\sigma\left(\alpha_{k_i}\right)\not\in\sigma\left(U_{k_i-1}\right)$ olan indisler $k_1,\ldots,k_\rho$ olsun, ayrıca $\beta_i':=\sigma\left(\alpha_{k_i}\right)$ olarak tanımlayalım. $\beta_i'\not\in \sigma\left(U_{k_i-1}\right)=\langle\beta_1',\ldots, \beta_{i-1}'\rangle$ olduğundan Teorem 1.2.8 gereği $\{\beta_1',\ldots,\beta_\rho' \}$ kümesi lineer bağımsızdır. Ayrıca $\{\beta_1',\ldots,\beta_\rho' \}\subset U$ ve $\dim\sigma(U)=\rho$ olduğundan bu küme $\sigma(U)$ kümesinin bir bazıdır. Bu küme $V$ uzayının bir $B'$ bazına tamamlanabilir, şimdi $\sigma$ dönüşümünü $A$ ve $B'$ bazlarına göre temsil eden $A'$ matrisinin yapısını belirleyelim. $\sigma\left(\alpha_{k_i}\right)=\beta_i'$ olduğundan $k_i-$nci sütunun $i-$nci satırında $1$ elemanı vardır ve bu sütunda diğer elemanlar $0$'dır. Ayrıca $k_i\lt j\lt k_{i+1}$ için $\sigma\left(\alpha_j\right)\in\sigma\left(U_{k_i}\right)$ olduğundan $j-$nci sütunun $i-$nci satırından aşağısındaki elemanları $0$ olur. Genel olarak $j-$nci sütunun ilk $i$ satırındaki elemanlar üzerinde bir kısıtlama yoktur. Sonuç olarak $A'$ matrisi $$ \left[ \begin{array}{rrrrr} \begin{array}{ccc}0&\cdots&0\\0&\cdots&0\\0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0\end{array} & \boxed{\begin{array}{c}1\\0\\0\\ \vdots\\0\end{array}} & \begin{array}{cc}a_{1,k_1+1}'&\cdots\\0&\cdots\\0&\cdots\\ \vdots&\vdots\\0&\cdots\end{array} & \boxed{\begin{array}{c}0\\1\\0\\ \vdots\\0\end{array}} & \begin{array}{cc}a_{1,k_2+1}'&\cdots\\a_{2,k_2+1}'&\cdots\\0&\cdots\\\vdots&\vdots\\\cdots&\cdots\end{array} \end{array} \right] $$ biçiminde olur, burada dikdörtgen içine alınmış sütunlar sırasıyla $k_1$ ve $k_2$ numaralı sütunlardır. $\sigma$ dönüşümü ve $A$ bazı verildiğinde $k_i$ sayısı ve $\{\beta_1',\ldots,\beta_\rho' \}$ kümesi tek türlü olarak belirlenebilir. Bu bazı $B'$ bazına tamamlamanın bir çok yolu var olabilir fakat $\sigma(U)$ kümesi elemanları $\{\beta_1',\ldots,\beta_\rho' \}$ bazı tarafından tek türlü olarak ifade edilebildiği için bu durum $A'$ matrisini değiştirmez. Dolayısıyla $A'$ matrisi $\sigma$ dönüşümü ve $A$ matrisi tarafından tek türlü olarak belirlenmektedir.
Teorem 2.5.2
Rankı $\rho$ olan $m\times n$ boyutlu bir $A$ matrisi verildiğinde, $A':=Q^{-1}A$ matrisi aşağıdaki özellikleri sağlayacak şekilde $m\times m$ boyutlu tersinir bir $Q$ matrisi vardır:- İlk $\rho$ tane satırın her birinde en az bir tane sıfırdan farklı eleman vardır ve diğer satırların tüm elemanları $0$'dır.
- $i\leq\rho$ ve $k_1\lt k_2\lt \cdots\lt k_\rho$ olmak üzere $i-$nci satırda sıfırdan farklı ilk eleman $1$'dir ve bu eleman $k_i$ sütununda yer alır.
- $k_i-$nci sütunda sıfırdan farklı olan tek eleman $1$'dir ve $i-$nci satırda yer alır.
İspat: Sırasıyla $m$ ve $n$ boyutlu herhangi iki $U$ ve $V$ vektör uzayını, bunlar arasında tanımlanmış herhangi bir $\sigma$ lineer dönüşümünü ve bunların herhangi birer $A$ ve $B$ bazını ele alalım. $A$ matrisi $\sigma$ dönüşümünü bu bazlara göre temsil eden matris olsun, bu durumda Uyarı 2.5.1 gereği istenilen özelliklerde en az bir $A':=Q^{-1}A$ matrisi vardır. Şimdi farz edelim öyle iki tane $Q_1$ ve $Q_2$ matrisi var olsun ki $A_1':=Q_1^{-1}A$ ve $A_2':=Q_2^{-1}A$ matrisi istenilen özellikleri sağlasın. Uyarı 2.4.7 gereği $Q_1$ ve $Q_2$ matrisleri $V$'deki baz değişimleri için geçiş matrisleri olur, yani $A_1'$ matrisi $\sigma$ dönüşümünü $A$ ve $B_1'$ bazlarına göre ve $A_2'$ matrisi de $A$ ve $B_2'$ bazlarına göre temsil eder. Diğer yandan (iii) koşuluna göre $i\leq\rho$ için hem $B_1'$ hem de $B_2'$ bazının $i-$nci elemanı $\sigma\left(\alpha_{k_i}\right)$'dir, dolayısıyla her iki bazın da ilk $\rho$ tane elemanı aynıdır. Ayrıca (i) koşuluna göre bu bazların diğer elemanlarının $A_1'$ ve $A_2'$ matrislerinin elemanlarının belirlenmesinde bir etkisi yoktur. Sonuç olarak $A_1'=A_2'$ elde edilmiş olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$
Tanım 2.5.3
Teorem 2.5.2 ile verilen özellikleri sağlayan bir matrise Hermite normal biçimine sahip bir matris denir. Bu form bazen satır eşelon form olarak da adlandırılır.
Tanım 2.5.4
Bir $A$ matrisinin satırlarının sütünları ile değiştirilmesi sonucu elde edilen ve $A^T$ ile gösterilen matrise $A$'nın transpozu denir.
Uyarı 2.5.5
$A^T:=\left[a_{ij}'\right]$ matrisinin $i-$nci satırı ve $j-$inci sütununda yer alan $a'_{ij}$ elemanı, $A$ matrisinin $j-$inci satırı ve $i-$nci sütununda bulunan $a_{ji}$ elemanıdır. Bunu kullanarak- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^TA^T$
- $\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1}$
Teorem 2.5.6
Bir matrisin lineer bağımsız sütunlarının sayısı, lineer bağımsız satırlarının sayısına eşittir.İspat: Bir $A$ matrisinin lineer bağımsız sütunlarının sayısı bu matrisin rankı olan $\rho$ sayısıdır (bk. Uyarı 2.2.12), ayrıca bu matrise karşılık gelen Hermite normal formu olan $A':=Q^{-1}A$ matrisinin rankı da $\rho$' olur (bk. Teorem 2.3.11). $A'$ matrisinin yapısı gereği lineer bağımsız satırlarının sayısı $\rho$'ur, yani $\left(A'\right)^T$ matrisinin rankı $\rho$ olur. $Q^T$ matrisi tersinir olduğundan (bk. Uyarı 2.5.5), $A^T=\left(QA'\right)^T=\left(A'\right)^TQ^T$ matrisinin rankı da $\rho$ olmalıdır (bk. Teorem 2.3.11).$$\tag*{$\blacksquare$}$$
Alıştırmalar
- Aşağıdaki matrislerin Hermite normal formunda olup olmadığını belirleyin. Ayrıca her birinin rankını tespit edin. $$ \left[\begin{array}{ccccc}0&1&0&0&1\\0&0&1&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{ccccc}0&0&2&0&4\\0&1&1&0&3\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&0&1\\0&1&0&0&1\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{array}\right], $$ $$ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&1&0&1\\0&1&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right], \quad \left[\begin{array}{ccccccc}0&1&0&1&0&0&1\\0&0&1&0&0&1&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\end{array}\right]. $$
- $\mathbb{R}^3$ uzayında $\mathbb{R}^2$ uzayına tanımlı $\sigma$ ve $\tau$ lineer dönüşümleri bu uzaylardan seçilen iki sabit $A$ ve $B$ bazına göre sırasıyla $$ A:=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\qquad B:=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\end{array}\right] $$ matrisleriyle temsil edilsin. Bu durumda $A$ ve $B'$ bazlarına göre $\sigma$ dönüşümü $B$ matrisi ile temsil edilebilecek şekilde $\mathbb{R}^2$ uzayında bir $B'$ bazı bulunamaz, gösterin.
2.4. Baz Değişimi
Lineer Cebire Giriş
2.6. Elementer Matrisler