2.4. Baz Değişimi

Kayıt Tarihi:
31 Mayıs 2020

Son Güncelleme:
1 Haziran 2020

Özet:

Lineer dönüşümlerin verilen sabit bazlara göre bir matris ile temsil edildiğini daha önceden öğrendik. Bu bölümde seçilen bazlar değiştirildiğinde bu matrislerin nasıl etkilendiğini araştıracağız.

Anahtar Kelimeler: baz değişimi · benzer matrisler · benzerlik · geçiş matrisi

Lineer dönüşümleri temsil etmek için kullandığımız matrisler, dönüşümün tanım uzayından seçilen baza bağlıdır. Seçilmiş olan sabit baz değiştiği zaman dönüşümü temsil eden matris de değişecektir.

Tanım 2.4.1

$A:=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n \}$ ve $A':=\{\alpha_1',\ldots,\alpha_n' \}$ kümeleri $U$ vektör uzayının iki bazı olsun. Bu durumda her $a_j'$ vektörü, $A$ kümesi elemanlarının lineer kombinasyonu olarak \begin{equation} \label{eq:lint:8} \tag{2.4.1} a_j'=\sum_{i=1}^{n}p_{ij}\alpha_i \end{equation} biçiminde yazılabilir. Buradaki $P:=\left[p_{ij} \right]$ matrisine, $A$ bazından $A'$ bazına geçiş matrisi denir.

Uyarı 2.4.2

\eqref{eq:lint:8} ile tanımlanan $P$ matrisinin sütunları, yeni bazı eski baz cinsinden temsil eden sıralı $n-$lileridir. Bu sütunlar dolayısıyla lineer bağımsızdır, bundan dolayı $P$ matrisi tersinirdir.

Uyarı 2.4.3

Keyfi bir $\xi\in U$ vektörü $A$ ve $A'$ bazları cinsinden sırasıyla $\xi=\sum x_i\alpha_i$ ve $\xi=\sum x_i'\alpha_i'$ olsun. Bu durumda \begin{equation} \label{eq:lint:9} \tag{2.4.2} \xi=\sum_{j=1}^{n}x_j'\alpha_j'=\sum_{j=1}^{n}x_j'\left( \sum_{i=1}^{n}p_{ij}\alpha_i \right)=\sum_{i=1}^{n}\left( \sum_{j=1}^{n}p_{ij}x_j' \right)\alpha_i \end{equation} eşitliği sağlanır. $\xi$ vektörünün $A$ bazına göre koordinatları tek türlü olduğundan bu eşitlikten $x_i=\sum_{j=1}^{n}p_{ij}x_j'$ olduğu görülür. Yani geçiş matrisi $P$'nin satırları $\xi$ vektörünün eski koordinatlarını yeni koordinatları cinsinden yazmak için kullanılır. $P$'nin sütunlarının ise yeni baz vektörlerinin eski baz vektörleri cinsinden ifade etmek için kullanıldığını hatırlayın (bk. Uyarı 2.4.2).

Uyarı 2.4.4

$\xi\in U$ vektörünü $A$ ve $A'$ bazlarına göre temsil eden sıralı $n-$lileri sırasıyla $n\times 1$ boyutlu $X:=\left( x_1,\ldots,x_n \right)$ ve $X':=\left( x_1',\ldots,x_n' \right)$ matrisleri olarak yazılsın. Bu durumda her $i$ için $x_i=\sum_{j=1}^{n}p_{ij}x_j'$ denklemleri \begin{equation} \label{eq:lint:10} \tag{2.4.3} X=PX' \end{equation} olarak tek bir matris denklem biçiminde yazılabilir.

Uyarı 2.4.5

Kabul edelim ki $U$ vektör uzayından $V$ vektör uzayına tanımlı olan $\sigma$ lineer dönüşümü $A\subset U$ ve $B:=\{\beta_1,\ldots,\beta_m\}\subset V$ bazlarına göre $A:=\left[a_{ij}\right]$ matrisi ile temsil edilsin. Şimdi bu dönüşümü $A'$ ve $B$ bazlarına göre temsil eden matrisi tespit edelim. \eqref{eq:lint:8} gereği \begin{equation} \label{eq:lint:11} \tag{2.4.4} \sigma(\alpha_j')=\sum_{k=1}^{n}p_{kj}\sigma(\alpha_k)=\sum_{k=1}^{n}p_{kj}\left( \sum_{i=1}^{m}a_{ik}\beta_i \right)=\sum_{i=1}^{m}\left( \sum_{k=1}^{n}a_{ik}p_{kj} \right)\beta_i:=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}'\beta_i \end{equation} yazılabilir, burada $a_{ij}':=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}p_{kj}$ olarak tanımladık. $B$ bir baz olduğundan bu eşitlikten $\sigma$ dönüşümünü $A'$ ve $B$ bazlarına göre temsil eden matrisin $A':=\left[a_{ij}'\right]$ olduğu anlaşılır. Bu ise Tanım 2.2.7 ile verilen matris çarpımı tanımı göz önüne alındığında \begin{equation} \label{eq:lint:12} \tag{2.4.5} A'=AP \end{equation} matris denklemini verir.

Uyarı 2.4.6

\eqref{eq:lint:12} eşitliği başka bir yöntemle de elde edilebilir. Keyfi bir $\xi=\sum_{j=1}^{n}x_j\alpha_j\in U$ için $\sigma(\xi)=\sum_{i=1}^{m}y_i\beta_i\in V$ olsun. Bu durumda (2.2.6) ve \eqref{eq:lint:10} eşitliklerini kullanarak \begin{equation} \label{eq:lint:13} \tag{2.4.6} Y=AX=A\left(PX'\right)=\left(AP\right)X' \end{equation} eşitliğini elde ederiz. Yani $AP$ matrisi $\sigma$ dönüşümünü $A'$ ve $B$ bazlarına göre temsil eder, dolayısıyla \eqref{eq:lint:12} eşitliği elde edilmiş olur.

Uyarı 2.4.7

Şimdi $V$ uzayında baz değişiminin etkisini araştıralım. $B$ bazı $B':=\{\beta_1',\ldots,\beta_m' \}$ bazı ile deiştirilsin ve bu değişimin geçiş matrisi $Q:=\left[q_{ij} \right]$ olsun, yani her $j$ için $\beta_j'=\sum_{i=1}^{m}q_{ij}\beta_j$ olsun. Bu durumda $\sigma$ dönüşümünü $A$ ve $B'$ bazlarına göre temsil eden matris $A'':=\left[a_{ij}'' \right]$ ile gösterilirse \begin{equation} \label{eq:lint:14} \tag{2.4.7} \sigma(\alpha_j)=\sum_{k=1}^{m}\alpha_{kj}''\beta_k'=\sum_{k=1}^{m}a_{kj}''\left( \sum_{i=1}^{m}q_{ik}\beta_i \right)=\sum_{i=1}^{m}\left( \sum_{k=1}^{m}q_{ik}a_{kj}'' \right)\beta_i=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}\beta_i \end{equation} eşitliğine varılır. Diğer yandan $\sigma$ dönüşümünün $A$ ve $B$ bazlarına göre $A$ matrisi ile temsil edilmesinden dolayı $\sigma(\alpha_j)=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}\beta_i$ olduğundan \eqref{eq:lint:14} eşitliği gereği $A=QA''$ veya \begin{equation} \label{eq:lint:15} \tag{2.4.8} A''=Q^{-1}A \end{equation} sonucu elde edilir. Sonuç olarak eğer değişiklik hem $U$ hem de $V$ uzaylarında yapılmışsa dönüşümü temsil eden yeni matris \eqref{eq:lint:12} ve \eqref{eq:lint:15} eşitlikleri gereği $Q^{-1}AP$ olur.

Teorem 2.4.8

$A$ matrisinin boyutu $m\times n$ ve rankı $\rho$ olsun. Bu durumda $Q^{-1}AP$ matrisinin esas köşegeninin ilk $\rho$ tane elemanı 1, diğer elemanları 0 olacak şekilde $n\times n$ boyutlu tersinir bir $P$ matrisi ve $m\times m$ boyutlu tersinir bir $Q$ matrisi vardır.

İspat: Teorem 2.1.22 ispatında olduğu gibi $U$ uzayında yeni bir $A':=\{\alpha_1',\ldots,\alpha_n' \}$ bazı seçebiliriz öyle ki bunun son $n-\rho=\nu$ tane elemanı $K(\sigma)$ alt uzayının bazı olur. $\{ \sigma(\alpha_1'),\ldots,\sigma(\alpha_\rho') \}$ kümesi $V$ içinde $\sigma(U)$ için bir baz olduğundan lineer bağımsızdır ve dolayısıyla bu küme $V$'nin bir $B'$ bazına tamamlanabilir. Sonuç olarak $$\sigma(\alpha_j')=\left\{\begin{array}{rr}\beta_j'\;,&\quad j\leq\rho\\0\;,&\quad j>\rho\end{array} \right.$$ olduğundan $\sigma$ dönüşümünü $A'$ ve $B'$ bazlarına göre temsil eden $Q^{-1}AP$ matrisi $$ Q^{-1}AP= \left[\begin{array}{cc} \boxed{\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{array}} & {\begin{array}{ccc}0&\cdots&0\\0&\cdots&0 \\ \vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0\end{array}} \\ &\\ {\begin{array}{cccc}0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{array}} & {\begin{array}{ccc}0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0\end{array}} \end{array}\right]_{m\times n} $$ biçiminde olur. Burada dikdörtgen içindeki matris $I_\rho$ matrisi, diğer kısımlar 0 elemanlarından oluşmaktadır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Uyarı 2.4.9

$U=V$ ve $A=B$ olsun, bu durumda $P=Q$ olur. Bu durumda $\sigma$ dönüşümünü temsil eden matris Teorem 2.4.8 ile verildiği kadar basit bir yapıda olmayabilir. $V$'den $V$'ye tanımlı olan aynı dönüşümü temsil eden matrislere benzer matrisler denir, buna göre $A$ ve $B$ matrislerinin benzer olması için gerek ve yeter koşul $B=P^{-1}AP$ olacak şekilde tersinir bir geçiş matrisinin var olmasıdır. Benzerlik konusu sonraki bölümlerde daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

Alıştırmalar

$\mathbb{R}^2$ uzayında $A:=\{(1,0), (0,1)\}$ ve $A':=\{(1/2, \sqrt{3/2}), (-\sqrt{3/2}, 1/2)\}$ bazları verilsin. $A$ bazından $A'$ bazına geçiş matrisinin $$P:=\left[\begin{array}{rr}1/2&-\sqrt{3/2}\\ \sqrt{3/2}&1/2\end{array}\right]$$ olduğunu gösterin. Daha sonra $A'$ bazından $A$ bazına geçiş matrisi olan $R$ matrisini hesaplayın ve $RP=I$ olduğunu doğrulayın.
$\mathbb{R}^3$ uzayında $A:=\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ ve $A':=\{(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)\}$ bazları verilsin. $A$ bazından $A'$ bazına ve diğer yönlü baz değişimleri için geçiş matrislerini hesaplayın. Bir önceki alıştırmada olduğu gibi yine bunların birbirinin tersi olduğunu doğrulayın.
$A$, $B$ ve $C$ ile $V$'nin üç bazı gösterilsin. $A$'dan $B$'ye geçiş matrisi $P$, $B$'den $C$'ye geçiş matrisi de $Q$ olsun. $PQ$ veya $QP$ matrisinin $A$'dan $C$'ye geçiş matrisi olup olmadığını araştırın.
Yukarıdaki Alıştırma 2.4-1 ve Alıştırma 2.4-2 ile görülen durum her baz değişimi için geçerlidir. Bir önceki alıştırmanın sonucunu kullanarak şunu kanıtlayın. $A$ bazından $A'$ bazına geçiş matrisi $P$, $A'$ bazından $A$ bazına geçiş matrisi de $Q$ olsun. Bu durumda $PQ=I$ olur.
$P_3$ uzayında $A:= \{1, t, t^2 \}$ ve $A':=\{t^2+t+1, t^2-t-2, t^2+t-1 \}$ bazları için geçiş matrisini hesaplayın.

Önceki Ders Notu:
2.3. Tersinir Matrisler

Dersin Ana Sayfası:
Lineer Cebire Giriş

Sonraki Ders Notu:
2.5. Hermite Normal Biçimi