2.1. Lineer Dönüşümler

$U$ ve $V$, aynı $F$ cismi üzerinde iki vektör uzayı olsun.

İspat: $\sigma^{-1}$ dönüşümünün bire bir ve örten olduğu açıktır, lineer olduğunu göstereceğiz. Eğer $\overline{\alpha}:=\sigma(\alpha)$ ve $\overline{\beta}:=\sigma(\beta)$ ise $\sigma\left( a\alpha+b\beta \right)=a\overline{\alpha}+b\overline{\beta}$ olacağından $\sigma^{-1}(a\overline{\alpha}+b\overline{\beta})=a\alpha+b\beta=a\sigma^{-1}(\overline{\alpha})+b\sigma^{-1}(\overline{\beta})$ olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Şimdi lineer dönüşümler arasında bazı işlemler tanımlayacağız.

İspat: $\overline{\alpha},\overline{\beta}\in\im(\sigma)$ olsun, bu durumda $\sigma(\alpha)=\overline{\alpha}$ ve $\sigma(\beta)=\overline{\beta}$ olacak şekilde $\alpha,\beta\in U$ vektörleri vardır. Her $a,b\in F$ için $\sigma(a\alpha+b\beta)=a\sigma(\alpha)+b\sigma(\beta)=a\overline{\alpha}+b\overline{\beta}\in \im(\sigma)$ olduğundan $\im(\sigma)$ bir alt uzaydır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Bu dersin geri kalanında sadece sonlu boyutlu uzayları ele alacağız ve $\dim U=n$, $\dim V=m$ kabul edeceğiz.

İspat: $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_k \}\subset U$ lineer bağımlı olsun, bu durumda aşikar olmayan bir $\sum_{i}a_i\alpha_i=0$ lineer bağıntısı sağlanır. Bu ise $\sum_{i}a_i\sigma(\alpha_i)=\sum_{i}\sigma(a_i\alpha_i)=\sigma(0)=0$ olacağından (bk, Uyarı 2.1.17) $\{ \sigma(\alpha_1),\ldots,\sigma(\alpha_k) \}\subset V$ kümesinin lineer bağımlı olmasını gerektirir. Yani bir lineer dönüşüm, lineer bağımlı bir kümeyi yine lineer bağımlı bir kümeye dönüştürür. Bundan dolayı $\im(\sigma)$ kümesinde $n$'den fazla lineer bağımsız vektör var olamaz. Diğer yandan Teorem 2.1.15 gereği $\im(\sigma)$ kümesi $V$'nin bir alt uzayı olduğundan $\dim V\leq m$ olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Eğer $\alpha,\beta\in\sigma^{-1}(W)$ ise $\sigma(a\alpha+b\beta)=a\sigma(\alpha)+b\sigma(\beta)\in W$ olur. Buradan da $a\alpha+b\beta\in\sigma^{-1}(W)$ elde edilir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_\nu \}$ kümesi $K(\sigma)$ uzayının, $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_\nu,\beta_1,\ldots,\beta_k \}$ kümesi de $U$ uzayının bir bazı olsun (bk. Teorem 1.4.10). Bir $\alpha:=\sum_{i}a_i\alpha_i+\sum_{j}b_j\beta_j\in U$ vektörü için $\sigma(\alpha)=\sum_{i}a_i\sigma(\alpha_i)+\sum_{j}b_j\sigma(\beta_j)=\sum_{j}b_j\sigma(\beta_j)$ olacağından $\{\sigma(\beta_1),\ldots, \sigma(\beta_k) \}$ kümesi $\im(\sigma)$ kümesini gerer. Şimdi bu kümenin lineer bağımsız olduğunu da gösterelim. Eğer $\sum_{j}c_j\sigma(\beta_j)=0$ olsaydı $\sum_{j}c_j\sigma(\beta_j)=\sigma\left(\sum_{j}c_j\beta_j\right)=0$, yani $\sum_{j}c_j\beta_j\in K(\sigma)$ olurdu ve bu durumda bu vektör $K(\sigma)$ bazı cinsinden $\sum_{j}c_j\sigma(\beta_j)=\sum_{i}d_i\alpha_i$ olarak ifade edilebilirdi. Buradan da $\sum_{i}d_i\alpha_i-\sum_{j}c_i\beta_j=0$ lineer bağıntısına ulaşılır ve $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_\nu,\beta_1,\ldots,\beta_k \}$ kümesi lineer bağımsız olduğundan her $d_i$ ve $c_j$ katsayısı sıfır olmalıdır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $K(\sigma)=\{0\}$ olması için gerek ve yeter koşulun $\nu(\sigma)=0$ olduğu açıktır. Eğer $\sigma$ bir monomorfizm ise bu durumda açıkça $K(\sigma)=\{0\}$, yani $\nu(\sigma)=0$ olur. Diğer taraftan eğer $\nu(\sigma)=0$ ve $\sigma(\alpha)=\sigma(\beta)$ ise $\sigma(\alpha-\beta)=0$, yani $\alpha-\beta\in K(\sigma)=\{0\}$ olur. Dolayısıyla $\alpha=\beta$ ve $\sigma$ dönüşümü bir monomorfizm olur. Teoremin diğer iddiasının doğruluğu epimorfizmin Uyarı 2.1.3 ile verilen tanımından açıktır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: İzomorfizm tanımı gereği iddianın bir yönü açıktır. Şimdi kabul edelim ki $\sigma$ bir epimorfizm olsun, bu durumda Teorem 2.1.23 gereği $\rho(\sigma)=n$ olur. Bu durumda Teorem 2.1.22 gereği $\nu(\sigma)=0$ olur ki bu da Teorem 2.1.23 gereği onun bir monomorfizm olduğunu gösterir. Benzer şekilde eğer $\sigma$ dönüşümü bir monomorfizm ise Teorem 2.1.23 gereği $\nu(\sigma)=0$ ve Teorem 2.1.22 gereği $\rho(\sigma)=n$ olur, yani Teorem 2.1.23 gereği $\sigma$ bir epimorfizm olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $\tau'$ ile $\im(\sigma)$ kümesinden $W$ kümesine tanımlı olan ve her $\alpha\in\im(\sigma)$ için $\tau'(\alpha)=\tau(\alpha)$ eşitliğini sağlayan üçüncü bir lineer dönüşümü gösterelim. Bu durumda $K(\tau')=\im(\sigma)\cap K(\tau)$ ve $\rho(\tau')=\dim\tau[\im(\sigma)]=\dim\tau\sigma(U)=\rho(\tau\sigma)$ olur. Böylece Teorem 2.1.22 gereği $\rho(\tau')+\nu(\tau')=\dim \im(\sigma)$ olacağından $\rho(\tau\sigma)+\dim\{\im(\sigma\cap K(\tau))=\rho(\sigma) \}$ elde edilir ki istenendir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Teorem 1.4.12 sonucunda $W_1:=\im(\sigma)$ ve $W_2:=K(\tau)$ seçilip $\dim W_1=\dim\im(\sigma)=\rho(\sigma)$ ve $\dim W_2=\dim K(\tau)=\nu(\tau)$ oldukları Teorem 2.1.27 sonucunda kullanılırsa istenilen elde edilir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $\tau\sigma$ dönüşümün rankı $\tau\left[\sigma(U)\right]\subset \tau(V)$ kümesinin boyutudur. $\dim \sigma(U)=n$ ve $\dim \tau(V)=m$ olsun, Teorem 2.1.19 gereği $\dim \tau\sigma(U)=\rho(\tau\sigma)\leq\min\{\dim \sigma(U), \dim \tau(V) \}=\min\{\rho(\sigma), \rho(\tau) \}$ olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Eğer $\sigma$ bir epimorfizm ise $K(\tau)\subset \im(\sigma)=V$ olup Sonuç 2.1.29 gereği $\rho(\tau\sigma)=\rho(\sigma)-\nu(\tau)=m-\nu(t)=\rho(\tau)$ olur (bk. Teorem 2.1.22). Eğer $\tau$ bir monomorfizm ise $K(\tau)=\{0\}\subset\im(\sigma)$ olup Sonuç 2.1.29 gereği $\rho(\tau\sigma)=\rho(\sigma)-\nu(\tau)=\rho(\sigma)$ elde edilir.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Kabul edelim ki $\sigma$ bir epimorfizm ve $\tau\sigma=0$ olsun. Eğer $\tau\neq0$ ise $\tau(\beta)\neq0$ olacak şekilde bir $\beta\in V$ vardır. $\sigma$ bir epimorfizm olduğundan $\sigma(\alpha)=\beta$ olacak şekilde bir $\alpha\in U$ vektörü vardır. Bu durumda $\tau\sigma(\alpha)=\tau(\beta)\neq0$ olur fakat bu bir çelişkidir, dolayısıyla $\tau=0$ olmalıdır. Şimdi varsayalım ki $\tau\sigma=0$ olması $\tau=0$ olmasını gerektirsin. Eğer $\sigma$ bir epimorfizm değilse $\im(\sigma)\subset V$ fakat $\im(\sigma)\neq V$ olur. $\{\beta_1,\ldots,\beta_r \}$ kümesi $\im(\sigma)$ için bir baz olsun be bu baz $\{\beta_1,\ldots,\beta_r,\ldots,\beta_m \}$ olarak $V$'nin bir bazına tamamlansın. $\tau$ lineer dönüşümünü $$\tau(\beta):=\left\{\begin{array}{ll}0,&\quad i\leq r\\ \beta_i,&\quad i>r\end{array} \right.$$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $\tau\sigma=0$ ve $\tau\neq0$ olur ki bu bir çelişkidir, dolayısıyla $\sigma$ dönüşümü epimorfizm olmalıdır.

Şimdi teoremin diğer iddiasını kanıtlayalım, $\tau\sigma=0$ ve $\tau$ bir monomorfizm olsun. Eğer $\sigma\neq0$ ise $\sigma(\alpha)\neq0$ olacak şekilde bir $\alpha\in U$ vardır. $\tau$ bir monomorfizm olduğundan $\tau\sigma(\alpha)\neq0$ olur fakat bu bir çelişkidir, dolayısıyla $\sigma=0$ olmalıdır. Şimdi $\tau\sigma=0$ olması $\sigma=0$ olmasını gerektirsin. $\tau$ bir monomorfizm değilse $\alpha\neq0$ ve $\tau(\alpha)=0$ olacak şekilde bir $\alpha\in V$ vardır. $\sigma(\alpha)=\alpha$ olarak tanımlanırsa $\tau\sigma(\alpha)=\tau(\alpha)=0$ olur. Bu durumda kabulümüz gereği $\sigma=0$ olur ki bu bir çelişkdir, dolayısıyla $\tau$ bir monomorfizm olmalıdır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $A$ bir baz olduğundan her $\alpha\in U$ vektörü $\alpha=\sum_{i}a_i\alpha_i$ biçiminde tek türlü olarak ifade edilebilir. İstenen özelliklerde bir $\sigma$ dönüşümü için $\sigma\left(\alpha\right)=\sigma\left(\sum_{i}a_i\alpha_i \right)=\sum_{i}a_i\sigma(\alpha_i)=\sum_{i}a_i\beta_i\in V$ olmalıdır, buradaki $a_i$ katsayıları tek türlü olduğun bu dönüşüm de tek türlüdür.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: $C$ kümesi $U$'nun bir bazına tamamlansın, bu durumda $i=1,\ldots,r$ için $\sigma(\gamma_i)=\delta_i$ ve diğer değerleri keyfi olarak seçilen bir $\sigma$ dönüşümü istenilen özellikleri sağlar.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

İspat: Bir $\alpha\in V $ için $\alpha_1:=\pi(\alpha)$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $\pi(\alpha_1)=\pi\left(\pi(\alpha) \right)=\pi^2(\alpha)=\pi(\alpha)=\alpha_1$ olur, yani $\pi$ izdüşümü $\im(\pi)$ üzerinde birim dönüşüm gibi davranır. Şimdi $\alpha_2:=\alpha-\alpha_1$ olsun, bu durumda $\pi(\alpha_2)=\pi(\alpha-\alpha_1)=\pi(\alpha)-\pi(\alpha_1)=\alpha_1-\alpha_1=0$ olur. Böylece $\alpha_1\in\im (\pi)$ ve $\alpha_2\in K(\pi)$ olmak üzere $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$ olduğu anlaşılmış olur, $\im(\pi)$ içinde $\pi$ birim olduğundan $\im(\pi)\cap K(\pi)=\{0\}$ olduğu açıktır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Alıştırmalar

1. $\mathbb{R}^2$'den $\mathbb{R}^2$'ye tanımlı olan $\sigma_1\left((x_1,x_2)\right):=\left((x_2,-x_1)\right)$ ve $\sigma_2\left((x_1,x_2)\right):=\left((x_1,-x_2)\right)$ lineer dönüşümleri için $\sigma_1+\sigma_2$, $\sigma_1\sigma_2$ ve $\sigma_2\sigma_1$ dönüşümlerini belirleyin.
2. $U=V$ olmak üzere bu kümeler arasında tanımlanmış $\sigma$ ve $\tau$ lineer dönüşümleri için $\sigma\tau\neq\tau\sigma$ olacak şekilde bir örnek verin.
3. Örnek 2.1.5-1 ile tanımlanan $\sigma$ ve $\tau$ lineer dönüşümleri için $\sigma\tau=1$ fakat $\tau\sigma\neq1$ olduğunu gösterin.
4. $\pi$ lineer dönüşümü bir izdüşüm ise $1-\pi$ dönüşümü de bir izdüşümdür, kanıtlayın. Ayrıca $1-\pi$ izdüşümünün çekirdeğini tespit edin.