1.3. Baz ve Boyut

Kayıt Tarihi:

Özet:

Bu derste vektör uzayları için baz ve boyut kavramlarını tartışacağız. Göreceğiz ki bir vektör uzayı aslında onun bazı denilen bir alt kümesi ile temsil edilebilir. Bu bilgi ileride çok işimize yarayacak.

Anahtar Kelimeler: baz · boyut · Kronecker delta · sonlu boyutlu uzay · Taylor polinomu

Tanım 1.3.1 (Baz)
Lineer bağımsız olan ve $V$ vektör uzayını geren bir kümeye $V$'nin bir bazı denir.

Uyarı 1.3.2
Eğer $A:=\{\alpha_1, \alpha_2,\ldots \}$ kümesi $V$'nin bir bazı ise bu durumda herhangi bir $\alpha\in V$ vektörü $\alpha=\sum_{i}a_i\alpha_i$ olarak yazılabilir. Bazların $V$'yi geren diğer kümelerden farkı bu açılımdaki $a_i$ katsayılarının tek türlü olmasıdır. Gerçekten eğer bir vektör $\alpha=\sum_{i}a_i\alpha_i=\sum_{i}b_i\alpha_i$ olarak yazılabilseydi $\sum_{i}(a_i-b_i)\alpha_i=0$ eşitliğinden ve $\{\alpha_i \}$ kümesi lineer bağımsız olduğundan her $i$ için $a_i=b_i$ olduğu görülür.

Örnek 1.3.3
Aşağıdaki örneklerin doğrulanması okuyucuya bırakılmıştır.
  1. $\mathbb{R}^n$ vektör uzayı için $\{\alpha_i \;|\; \alpha_i:=\left( \delta_{1i},\delta_{2i},\ldots,\delta_{ni} \right) \}$ kümesi bir bazdır. Buradaki $\delta_{ij}$ sembolü Kronecker delta olarak adlandırılır ve $$\delta_{ij}:=\left\{\begin{array}{cc}0,&i\neq j\\1,&i=j\end{array}\right.$$ olarak tanımlanır.
  2. Örnek 1.1.4-3 ile verilen $P$ vektör uzayı için $\{\alpha_i\;|\;\alpha_i:=t^i, i=0,1,\ldots \}$ kümesi bir bazdır.
  3. Örnek 1.1.4-4 ile verilen $P_n$ vektör uzayı için $\{1, t, t^2, \ldots, t^{n-1} \}$ kümesi bir bazdır.

Görüldüğü gibi bazı vektör uzaylarının sonlu elemanlı bazı var olabilirken bazı uzaylar için bu mümkün değildir. Örnek 1.1.4-3,5,6,7,8 ile verilen vektör uzaylarının sonlu elemanlı bazları yoktur.

Teorem 1.3.4
Bir vektör uzayının sonlu elemanlı bir bazı varsa diğer bütün bazları da sonlu elemanlıdır ve aynı sayıda elemanı vardır.

İspat: $A$ kümesi $n$ elemanlı bir baz ve $B$ kümesi de başka herhangi bir baz olsun. $A$ kümesi $V$'yi gerdiğinden ve $B$ kümesi de lineer bağımsız olduğundan Teorem 1.2.12 gereği $B$ kümesinin eleman sayısı en fazla $m\leq n$ olabilir. $A$ ile $B$ bazlarının rollerini değiştirerek $n\leq m$ olduğu da görülür, dolayısıyla $m=n$ elde edilmiş olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Tanım 1.3.5 (Boyut)
Bir vektör uzayının sonlu elemanlı bazı varsa bazın eleman sayısına vektör uzayının boyutu, bu uzaya da bir sonlu boyutlu vektör uzayı denir. Bir $V$ uzayının boyutu $\dim V$ ile gösterilir.

Örnek 1.3.6
$\{0\}$ kümesinin lineer bağımsız tek alt kümesi $\emptyset$ kümesidir (bk. Örnek 1.2.4-7,8, ayrıca boş küme $\{0\}$ kümesini gerer, bk. Tanım 1.2.6). Dolaysıyla $\emptyset$ kümesi $\{0\}$ kümesinin bazıdır ve bu küme sıfır boyutludur. Örnek 1.3.3 gereği $\mathbb{R}^n$ ve $P_n$ vektör uzayları $n-$boyutludur, $P$ vektör uzayı ise sonsuz boyutludur. Bu derste genel olarak sonlu boyutlu vektör uzayları ile çalışacağız.

Teorem 1.3.7
$n-$boyutlu bir vektör uzayında $n+1$ elemanlı her küme lineer bağımlıdır.

İspat: Böyle bir kümenin lineer bağımsız olması Teorem 1.2.12 ile çelişirdi.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Teorem 1.3.8
$n-$boyutlu bir vektör uzayının $n-$elemanlı bir alt kümesinin bir baz olması için gerek ve yeter koşul lineer bağımsız olmasıdır.

İspat: $V$ kümesi $n-$boyutlu bir vektör uzayı, $A:=\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}\subset V$ lineer bağımsız bir küme ve $\beta\in V$ herhangi bir vektör olsun. $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\beta \}$ kümesi $n+1$ elemanlı olduğundan Teorem 1.3.7 gereği lineer bağımlıdır. Bu küme elemanları arasındaki aşikar olmayan her lineer bağıntıda $\beta$ vektörünün katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır, çünkü bu katsayı sıfır olursa $A$ kümesi vektörleri arasında aşikar olmayan lineer bir bağıntı oluşur ve bu durum $A$'nın lineer bağımsızlığı ile çelişir. Böylece $\beta$ vektörü $A$ kümesi vektörlerinin bir lineer kombinasyonudur, $\beta\in V$ keyfi seçildiğinden $A$ kümesinin $V$'yi gerdiği anlaşılır. İddianın diğer yönü baz tanımı gereği açıktır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Teorem 1.3.9
$n-$boyutlu bir vektör uzayının $n-$elemanlı bir alt kümesinin bir baz olması için gerek ve yeter koşul onun uzayı germesidir.

İspat: İddianın ilk yönünü kanıtlamak için $n-$boyutlu bir $V$ vektör uzayında $n$ tane vektörden oluşan bir kümenin lineer bağımsız olduğunu göstereceğiz. Bu küme lineer bağımlı olsaydı elemanlarından birisi diğerlerinin lineer kombinasyonu olarak yazılabilirdi ve Teorem 1.2.10 gereği $n-1$ elemanlı bir alt kümesi de $V$'yi gererdi. Diğer yandan $V$ uzayı $n-$boyutlu olduğundan $n$ elemanlı lineer bağımsız küme (baz) vardır ve bu durum Teorem 1.2.12 ile çelişir. İddianın diğer yönü baz tanımı gereği açıktır.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Teorem 1.3.10
Sonlu boyutlu bir vektör uzayında uzayı geren her küme bir baz içerir.

İspat: $B$ kümesi $n-$boyutlu $V$ vektör uzayını geren bir küme olsun. Eğer $V=\{0\}$ ise $\emptyset\subset B$ uzayı gerdiği için ispat tamamlanır. Şimdi $V\neq\{0\}$ olsun, bu durumda $B$ kümesi sıfırdan farklı bir $\alpha_1$ vektörü içerir. Şimdi $B$ kümesi içerisinde $\alpha_1$ vektörünün skaler katı (yani $\{\alpha_1 \}$ kümesi vektörlerinin lineer kombinasyonu) olmayan başka bir $\alpha_2$ vektörü arayalım. Daha sonra da benzer şekilde $B$ içinde olan ve $\{\alpha_1,\alpha_2\}$ vektörlerinin lineer kombinasyonu olmayan başka bir $\alpha_3$ vektörü arayalım. Bu işlem sürekli tekrar edilirse, $V$ uzayı sonlu boyutlu olduğundan Teorem 1.3.8 gereği $n-$den fazla vektör elde edilemez ve süreç sonlu sayıda adımda sona erer. Farzedelim ki bu yola $A:=\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m \}$ vektörleri elde edilmiş olsun, bunlar lineer bağımsızdır. Böylece $B$ içinde diğerlerinin lineer kombinasyonu olarak yazılamayan vektörler $A$ içinde toplandığından $B$ içinde kalan diğer vektörler $A$ kümesi vektörlerinin lineer kombinasyonu olarak yazılabilen vektörlerdir. Diğer taraftan $B$ kümesi $V$ uzayını gerdiğinden Teorem 1.2.1 gereği $A$ kümesi de $V$'yi gerer.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Teorem 1.3.11
Sonlu boyutlu bir vektör uzayında lineer bağımsız her küme bir baza tamamlanabilir.

İspat: $A:=\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ kümesi sonlu boyutlu $V$ vektör uzayının bir bazı ve $m\leq n$ olmak üzere $B:=\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m \}$ de lineer bağımsız bir küme olsun. Bu durumda $\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_m,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ kümesi $V$'yi gerer. Bu küme Teorem 1.3.7 gereği lineer bağımlı olduğundan en az bir elemanı kendisinden önceki vektörlerin lineer kombinasyonu olarak yazılabilir (bk. Teorem 1.2.5), ayrıca lineer bağımsızlıkla çelişeceğinden bu vektör $\beta_i$ vektörlerinden biri olamaz. Bu $\alpha_i$ vektörü kümeden çıkarılırsa Teorem 1.2.10 gereği $V$'yi geren daha küçük bir küme elde edilmiş olur. Bu işlem kalan vektörler lineer bağımsız olana dek tekrarlansın, hiç bir tekrarda $\beta_i$ vektörlerinden birinin kümeden çıkarılmadığına dikkat edilmelidir. Bu süreç sonunda $V$'yi geren ve $B$ kümesini içeren bir küme elde edilmiş olur.$$\tag*{$\blacksquare$}$$

Teorem 1.3.10 ve Teorem 1.3.11 ile bir vektör uzayında bazların en büyük lineer bağımsız kümeler ve uzayı geren en küçük kümeler olduğu görüldü.

Uyarı 1.3.12
$V$ kümesi bir $F$ cismi üzerinde $n-$boyutlu bir vektör uzayı ve $A:=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n \}$ de bu uzayın herhangi bir bazı olsun. $A$ kümesi $V$'yi gerdiğinden herhangi bir $\alpha\in V$ vektörü $\alpha=\sum_{i}a_i\alpha_i$ biçiminde yazılabilir ve bu açılım tek türlüdür (bk. Uyarı 1.3.2). Yani $A$ bazı verildiğinde bu açılımdaki $a_i$ katsayıları tamamen $\alpha$ vektörü tarafından belirlenir. Diğer taraftan her $\left( a_1, a_2,\ldots, a_n \right)$ sıralı $n-$lisi de tek türlü olarak $\alpha=\sum_{i}a_i\alpha_i$ vektörünü belirler. Sonuç olarak $(a_1,\ldots,a_n)\in F^n$ sıralı $n-$lileri ile $\alpha\in V$ vektörleri arasında bire-bir eşleme vardır.

Tanım 1.3.13
Eğer $\alpha=\sum_{i}a_i\alpha_i$ bağıntısı sağlanıyorsa $a_i\in F$ skalerine ve $a_i\alpha_i$ vektörüne $\alpha\in V$ vektörünün sırasıyla $i-$nci koordinatı ve $i-$nci bileşeni denir.

Uyarı 1.3.14
$\alpha=\sum_{i}a_i\alpha_i$ vektörüne $(a_1,\ldots,a_n)$ sıralı $n-$lisi ve $\beta=\sum_{i}b_i\alpha_i$ vektörüne de $(b_1,\ldots,b_n)$ sıralı $n-$lisi karşılık gelsin. Bu durumda $\alpha+\beta=\sum_{i}(a_i+b_i)\alpha_i$ vektörüne de $\left(a_1+b_1,\ldots, a_n+b_n\right)$ sıralı $n-$lisi karşılık gelir. Ayrıca $a\alpha=\sum_{i}aa_i\alpha_i$ vektörüne de $(aa_1,\ldots,aa_n)$ sıralı $n-$lisi karşılık gelir. Yani iki vektörün toplamına karşılık gelen sıralı $n-$li, bunların tekil olarak karşılık geldiği sıralı $n-$lilerin toplamı oluyor (buradaki ilk toplam vektör toplama, ikincisi ise sıralı $n-$lilerin toplama işlemidir). Skalerle çarpma işlemi için de aynı durum oluşmaktadır. Sonuç olarak vektörler arasındaki vektörel işlemler ile onları temsil eden sıralı $n-$liler arasındaki işlemler arasında bire bir eşleme oluşmaktadır. İki küme içindeki nesneler arasında bire bir eşleme varsa ve elemanları arasındaki önemli bağıntılar korunuyorsa bu iki kümeye izomorf kümeler denir. İzomorf kümeler yapısal olarak aynı, sadece gösterimleri farklı olan kümeler olarak görülebilir. Bu yolla her $n-$boyutlu vektör uzayının $n-$boyutlu koordinat uzayı $F^n$ ile izomorf olduğu görülür. Ayrıca iki ayrı küme başka üçüncü bir kümeye izomorf ise bunlar birbirine de izomorf olacağından şunu anlarız, aynı cisim üzerindeki tüm $n-$boyutlu vektör uzayları birbirine izomorftur.

Uyarı 1.3.15
Sıralı $n-$lilerin kümesi alışılmış işlemlerle birlikte vektör uzayı aksiyomlarını sağlar. Diğer yandan bir baz seçildiğinde Uyarı 1.3.14 ile tarif edildiği gibi $V$ ile $F^n$ arasında bir izomorfizm kurulabilir. Bundan dolayı vektör uzayları yerine koordinat uzayları araştırılabilir. Fakat burada vaktörlerle sıralı $n-$liler arasındaki eşleşmenin açık bilgisi seçilen baza bağlıdır. $V$'de seçilen baz değiştirilirse yine vektörler ile sıralı $n-$liler arasında bir eşleşme olur ama bu eşleşmenin kuralı öncekinden farklı olabilir. Uygulamada genellikle amacımıza göre hesaplamaları en basit hale getirecek bazları seçeriz. Baz seçimi ve bunun sonuçlarını tespit etmek lineer cebirdeki temel konulardan biridir.

Uyarı 1.3.16
$V$ vektör uzayında $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n \}$ bazı seçilmiş olsun. Bu durumda bir $\alpha=\sum_{i}a_i\alpha_i$ vektörü $(a_1,\ldots,\alpha_n)$ sıralı $n-$lisi ile temsil edildiğinden bu vektörü "$\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n \}$ bazına göre $(a_1,\ldots,a_n)$ ile temsil edilen vektör" olarak belirtiriz. Metin boyunca bu vektörü kısaca "$(a_1,\ldots,a_n)$ vektörü" olarak belirteceğiz.

Örnek 1.3.17
Örnek 1.3.3-3 gereği bir $p(t)=a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1t+a_0$ polinomunun $\{1,t,\ldots,t^{n-1} \}$ bazına göre koordinatları $(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1})$ biçimindedir. Aynı vektör uzayında $t_0\in\mathbb{R}$ sabit olmak üzere $\{1, t-t_0, (t-t_0)^2,\ldots,(t-t_0)^{n-1} \}$ bazı seçilirse bu polinomun koordinatları $p(t)$ polinomunun Taylor açılımından faydalanarak koordinatlarını $$\left(p(t_0), p'(t_0)(t-t_0), \frac{p''(t_0)}{2!}(t-t_0)^2,\cdots,\frac{p^{(n-1)}}{(n-1)!}(t-t_0)^{n-1} \right)$$ olarak buluruz.

Alıştırmalar

  1. $\mathbb{R}^3$ uzayında $\alpha_1:=(1,1,0)$, $\alpha_2:=(1,0,1)$, $\alpha_3:=(0,1,1)$ vektörlerini ele alalım.
    1. Bunların lineer bağımsız olduğunu göstererek bir baz oluşturduğunu kanıtlayın.
    2. Bunların baz oluşturduğunu kanıtlamak için $\langle \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\rangle$ kümesinin $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ ve $(0,0,1)$ vektörlerini içerdiğini gösterin. (Bu neden yeterlidir?)
  2. $A:=\{(1,1,0,0), (0,0,1,1), (1,0,1,0), (0,1,0,-1) \}$ kümesi $\mathbb{R}^4$'te bir baz olsun (bunu doğrulayın) ve $B:=\{(1, 2, -1, 1), (0,1,2,-1) \}$ kümesini bir baza tamamlayın. Bunun için Teorem 1.3.11 ispatındaki adımları uygulayın.
  3. $\mathbb{R}^4$'te $(1,2,3,4)$ vektörünü içeren bir baz bulun. Bunun için Teorem 1.3.11 ispatındaki adımlarını uygulayın.
  4. $\mathbb{R}^n$ sıralı $n-$liler uzayında herhangi bir $\beta$ vektörünün $$\begin{array}{c} \alpha_1:=(1,1,1,\ldots,1)\\\alpha_2:=(0,1,1,\ldots,1)\\\alpha_3:=(0,0,1,\ldots,1)\\ \vdots\\\alpha_n:=(0,0,0,\ldots,1)\end{array}$$ olmak üzere $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n \}$ bazına göre koordinatlarını tespit edin.
Önceki Ders Notu:
1.2. Lineer Bağımsızlık
Dersin Ana Sayfası:
Lineer Cebire Giriş
Sonraki Ders Notu:
1.4. Alt Uzaylar